ページ3:

(3) 正六角形 P1 P2 P3 P4 P5 P6 がある (図1)。 1個のサイコロを4回投げて,出た
目を順にi,j,k,lとする。
ミ
(a) i,j,k,l がどの2つも異なる確率は
である。
ムメ
(b),j,k,lがどの2つも異なり,かつ, 線分 PPj と線分 Pr Pe が交わる確率
モ
は
ヤ ユ
である。
(例えば, 線分 PP4 と線分 P3P5 は交わる (図2)。 線分P1 P2 と線分 P3P5
は交わらない (図3)。)
(c) i,j,k,lがどの2つも異なり,かつ, 線分 PP と線分 PkPe が平行である
ヨ
確率は
である。
ラ リ
P4
PA
P3
P5
P3
P4
P5
P3
P5
P6
P1
図 1
P2
P2
P6
P2
P6
P1
P1
図3
図 2
-8-

ページ4:

問題2の解答は白色の解答用紙に記入しなさい。 答だけでなく答を導く過程
も記入しなさい。
2
eを自然対数の底とし, log は自然対数とする。
座標平面上の曲線y = e を C1 とする。 実数 tに対し, C1 上の点を P (t, et) とする。
以下の条件 (a), (b), (c) を満たす円を C2 とする。
(a) 円の中心 Q (X, Y)は0 <Y <ex を満たす。
(b)円C2は軸と接する。
(c)点PはC2 上にあり, 点P において C1 と C2 は共通の接線 l をもつ。
次の問いに答えよ。
(1) 接線 l の方程式を, t を用いて表せ。
(2)kとは実数で, kは正であり, ベクトルkm-1) は接線に垂直な単位ベ
クトルである。 kmを tを用いて表せ。
S
を求めよ。 (SとXは tの関数で
7-X00-17.
(3)円C2 の面積をSとおく。極限 lim
ある。)
以下,t= - log3 とする。(このとき,円 C2 はæ ≧ 0,y ≧ 0 の範囲に含まれてい
る。このことは示さなくてよい。)
円C2 と軸との接点をRとし,円 C2 の2点P, Rを結ぶ弧のうち短い方を C3 と
する。
(4) 弧 C3 の中心角∠PQR を求めよ。
(5)軸,y軸, 曲線 C1,および, 弧 C3 で囲まれた部分の面積を求めよ。
-10-
(30点,ただし数理科学科は 60点)

ページ5:

問題 3の解答はクリーム色の解答用紙に記入しなさい。 答だけでなく答を導
く過程も記入しなさい。
3
eを自然対数の底とする。 関数 f(x) を次で定める。
f(x)=
=====
x³ e-
3e-12
(x ≥ 0)
座標平面上の曲線y=f(x) (z≧0)をCとおく。
(1) f(x) が最大となるæの値を求めよ。
(2) 座標平面のæ>0の範囲で, 曲線Cの変曲点の座標をすべて求めよ。
(3)αを正の実数とし, 曲線C上の点(a, f (a)) における接線が原点を通るとする。
(a) a の値を求めよ。
(b) 曲線 Cと接線 l で囲まれる部分の面積を求めよ。
-12-
(30点, ただし数理科学科は60点)

ページ6:

(1)
5 |
=
=
| b
♫
-
18
=
より
b
(2)
2
2
-
-
11 - α 12 = 1
-
2 ba
2ā b
2 a b
2 a
ā
b
T
2
2
+
a
=
+
=
=
0
=
=
- 2
I
a
1.12
「
b
=
cos LA OB
cos LAO B
cos LA OB
=
=
=
T
ア
Σ
πC
OAUB(元より
LAUB
| ä + č |
| ã +
č
AO AB
=
=
-
2
|ā| |5| ≤ in LAOB
=
2
+
=
č |
=
b
+
C
= |
=
|ā
2
より
+
12² +
2
>
ľ
| ã + č | ² = 1 '
2 a č +
TO
2
=
2
2 a
C + | c |
=
2 a
-
č +
č
= 0
イウ
2

ページ7:

| b - á + č | = | £)
ā
(2)
2
2
より
2
-
| 2
+2 | 2 | +
2
+
2
+ | c |
2
+ 1 +
| +
č |
2
2
-
-
-
2-1
2
2 a
-
-
TU
-
-
22. C
2 a
21=2·97+
+ 2
C =
2 ač + 2
217+
2 ã. c + 2 b. c
=
|
= 0
| =
に
C
| = | 2 | + 2·17 +
|
|
=
2
2
2
2 + 217+ (3)
= |
2
7|2 +217 +1
2
£)
|
l=,| 2+g | C |=|2+1|
D
9
より
より
⑤ より
2
=
|-
⑤
⑦
|
=
|-
7|2|
| 2 |
2
こ
| 2 |
|2
2 b
−₂
² -
- C
| ĉ | + |č | - | - |c|² = 0
= |
)
-
0 = (₂| 2 | − 1 − ) + (₁|2| −)
72-1-
7 | 2 |
2
(z|2|-)
=
=-
⑦
より
⑧ より
2ā
=
2.
TO
a
=
-
2
=
=
2.97
217
H
11
Ľ
オカ
キ
|-
=
-

ページ8:

点Hは
平面
OAB上の点
実数stを用い
OH =
sätth
とする
CH=
CH
=
OH
-
s ā + t b - č
O ALCH
より
ā
OACH = 0
( sã + t b - č ) = 0
2
♪ |ā | ² + tā b - ã c = o
2
S
+
-
(-1/2)
= 0
OB ICH
より
より
⑨より
s + t
+
=
2
2 S
+ 2t
+
= 0
25
+
2t
=
OB
CH
= 0
b · ( s ä + t b
c) = 0
sab
+ t | 5 |
2
bc = o
S
+
t 1√2
2
-
(-1) = 0
S
+
2 t
+ 1 = 0
S +
2t
=
-1
S
=
0+ 20
=
-
0
B
A

ページ9:

CH
=
satt
bē
-
ICHI
2
2
1 -
b
-
こ
2
2
| H | ³ = | — — — 6 − ¯ | ³
-
-
b
-
+161²+2+1
4
2
1/2)+
2
6.C+
č + | č | 2
に
2
(-1) +
|
2
2
.|CH|=
2
長
四面体 OABCの体積は
△OAB|CH|
12
++・
=
3
I
12
12
2
サーセ
クケ、コ

ページ10:

(2)
f(x) = ax² + bx + c
f(x) dx
Sinx
=
-4
f(x) dx cos x
=
22
f(1)
= 10
まず
- x
=
(1
=
cos (-x)
=
-x
cos x
x
cos x
12
奇関数
x
cos x dx
0
x² sinx dx.
=
J
-
[x²-cox))
元
(
t-cus
x² (-cos x) dx
((x²´t (x) de
(x)ト
17) - 7 (-cos (-1) |
dx
+
2 x cos x dx
0 + 2
S
x cos x dn
= 2.0 = 0
#4
1 ½ x un x dx = [ x² Linx de = 0
cos
J
また
-X
Lin (-x)
=-x-(-sinα)
=
2
x sinx
2
= x Linx
は偶関数
x Linx dx = 2
x (- cos x) dx
空
0
°
x Linx dx

ページ11:

=
11
2([x\-(^)];
x (- cosα,
10-0
+
[rinx]
=
=
=
2
-2
2 (1-0)
= 2
=
| (x)' (-_ cosx) dx
| 1. cos x dx )
11.
兀
2 (sin II - sin 0 )
タ
2
}
2
1 x x² cos x dx
=x^(Linx)' dx
= { ] ]
[xsinx]
Lin
2
- / (x²)' sinx dx}
J2xsinxdx
1 - 4 1 - 1 1x-sixda ]
fin()
-A
=
{
- 1 1 1 1 1 1 - 1 1
π
(-1) 2
x
Linx dx
π
+
=
4
兀
2
2
-
2.
2 (夕より)
4
4
チツテ

ページ12:

=
f(x) sinx dx
| ( a x² + bx + c ) sin x dx
2
44
= a | x^ und da + b) x cox de + c ) [cas de
Link
sin dx
sinx
=
a. O +
b. 2
+
0
(ソタより)
=
2 b
①より
2b
b
=
=
-4
2
(③
=
KA
K
f(x) cos x dx
| ( ax + bx + c ) cos x dx
2
2
2
= a [ x² core de + b ] x x x dx + c [{ m x dz
cos
4)+ b.0+ c [sin x]
cos dx
2
==
=
a l
(ソチ~テより)
F
-
(72-4) a
+
C
{
元
Lin
2
sin(-1) }
= (1-4) a + c (1-(-1))
2
= ( 7² - 4 ) a + 2 c
2
②より
(72
4)a+2c
=
22

ページ13:

f(1) = 10 より
al'+b.1+C=10
a + b + c
=
10
b= 2 より
a
2 +
C = 10
at c
=12
C=
12-a
④
より
1
4) a
TC
2
+ 2 (12-a) = 22
4)a + 24
2 a
=
π
兀
2
T
2
4
2) a
2π2-24
( π² = 6) a =
2
(π²-12) a
a=
a
=
=
4
2バー24
2 (2π²-24)
2.
2(π²-12)
2
12
(5)より
C =
a = 4.
12
=12
=
P
-
-
a
4
b
= -
2
C=8
ト、ナニ

ページ14:

f(x) = 4x²- 2x + 8
f(sino) = f (cos 0)
4 sin' O
4 sin' O
41 sin' o
-
-
2 fin 0 + 8
2 £in O
-
=
0 < 0 < TO
4 cos³0
+ 2 cos
400520
2
-
cos O)
-
2 | Ein O-
cos O)
2 (fin @ + cos 0) (sin O- cos 0)
-
2 cos 0
+8
= 0
=
0
(Fin O- cos 0) = 0
2 (sin 0 + cos 0 )
-
13
=
0
cos 0 ) -1
1 sino
-
cor 0 )
1
sin 0-
co50 =
0
または
2(sin0+
= 0
Lin O +
cos 0
=
0
または
2 ( sin O + cos 0) =
1
co50
Sino
= 0
または
cos 0 + sin 0 =
2
1/
7.2..)
cos 0-sino
= 0より
COT 0 =
Sin O
Sin² 0 + COT² 0
=
より
sin² 0 +
sinto
2 sin' O
sin o
0 < 0 < 7 F')
sin 0 > 0
なので
=
1/
sing F1
=
=
2
2
=
=
√2
2
12
cos O + sin O
=
より
Los O
=
2
1/
sino
2
sin² 0 +
cos² 0 = 15;
)²
sin' O + ( 1½ - sin o ) = 1
11, 2, 7

ページ15:

sino +
-
sino + sin² o
=
1
4
2 sino
sin O +
-1
= 0
3
2 Fin² O
-
Lin O
= 0
8 sin²
0
-
4 sin O
-
= 0
8 sin² 0 + 2. (-2) Sin O 3
Lino =
-
= 0
(-2) 土(-2) -8.(-3)
8
2 ± 14+24
い
8
2
土/28
8
2 ± 2√7
8
1 ± √17
=
4
O < 0 < A I'
Sin 0 > 0
なので
1 +7
Sino =
ヘホマ
4

ページ16:

(3)
正六角形
サ イコ
4回
i, j. k, l
(a)
6
5
4
3
5
=
6
6
6
18
(b)
=
1のとき
[1]j=3のとき
PiPj=PiPa
ミムメ
P5
P4
P
3
PiP z & P k pe pi
交わるのは
P6
k
=
き
2のと
l
=
4
5
6
P₁
k
= 4.5.6 のとき
l:2
3+3
=6通り
P4
[2]
j=4
のと
Ps
P3
P. Po z P k Pe Pi
が
交わるのは
k
=
2,3のとき
l
=
5.6
1
P6
P2
k
5.6のと
き
l
=
23
P₁
2×2 + 2×2= 4+4= 8 通り
P4
[3]
=
5のとき
P5
P3
j=3のときと 同様に 6通り
2
6
の
'
(6+8+6)×6
64
6通り
=
P6
P2
P₁
5
モヤ、ユ(各)
63
54
20

ページ17:

( c ) P i P ; // P k te
に1のとき
[1]j=2のとき
PiP 2 11
Pape より
P<
P5
J
P3
(k,l)= (3,6) (6,3)
P6
P2
(4.5), (5.4)
4通り
P.
P4
[2]j
3のとき
P5
P3
3
Pi P; // P k Pe
より
( k, l)
= (4.6) (6.4)
P6
2通り
=4のとき
[3] j
P i P 4 // P k P edi
(k, l)= (2,3), (3,2),
P4
P5
P3
(5.6), (6.5)
P6
P2
4通り
P.
P4
P5
P3
[4]
j
=
5
のとき
[2]と同様
2通り
P6
P2
P.
[5]
j
=
6
のとき
P&
[1]と同様
4通り
P5
P3
P6
P₁

ページ18:

i
= 1. 2. ...
6
6通り
( 4 +2 +4 +2+4)×
6
6
16
16
(1
6
3
2
6.6.6
2
ヨラリ(答)
(谷)
3.
3.3
27

ページ19:

2
C₁ =
y=ex
P (t, et )
(1)
c2
Q (X, Y)
0 < y < e*
y
=
ex
y'=ex
P(t,et)における
接線の方程式は
y-e=et(x-t)
:l: y
=
(2)
k > O
ex-tetet
(谷)
k (m, -1)
lの傾きがe
より
ē =
=
い
et)
とおく
ē t
k (m, 1) より
l.k(m-1)=0
... k { |· m + et. (-1)| = 0
t
m
e
=0
m =
e
50
k (m, 1) = k (et, 1)
単位ベクトルより
klet,1)
klet, 1)| = |
k^{ let'+12}=1
k2
(e2t+1)=1
2
2
k²
=
I
2t
+1
0
Plt.et
C₁
• Q (X,Y) C₂
x

ページ20:

ko より
(3)
C2の
面積
lim
S
2-17
x-t
k
2t
k =
It
+1
C 2
9
半径はY
op +
1Q
07 = 0³
(X, Y) = (t, et ) + Y ·k (m, -1)
より
✗
Y
= (t, et) + (Ykm. - Tk)
k>08)
=
It +
=
=
Ykm, et - Yk)
t + Y km
e
t
-
rk
Y + Y k
(1+ k) Y
1 + k + 0
Y =
=
=
et
et
et
1 + k
より
✗
t
=
Tkm
t
=
Ykm
et
1+k
km
=
=
m =
π Y
k m
te
t
km (1+h)
2t
+1
et
(谷)
y
0
Plt.et
(③ より)
. 8 (X,Y)
x

ページ21:

tet
=
11+ e²t
π
| +
te
I
t
e
zt
1+2+
est
(1+e2t)
/test+1
((2) より)
πC
lim
t--b
-
t
=
(4)
t
=
人と
✓ ✓ log 3
x軸の交点を
Sとする
lの傾きはet=
lim
t1-10
1+0
1+0 + 1
+
1 + e²t
=
T
πC
(答)
2
Plt.et
10
(X, Y) C₂
=
3
e
S
R
x
et=e
= 35
=
tan LPSR=
O(LPSRCπよう LPSR=
厚
大
3
兀
LQRS=
LORS
よう
2
:
兀
LORS+
LORS
+
2
4点P.S. RQ は
同
円周上
占
の
2
= π

ページ22:

四角形 PSRQ は
円に内接する四角形より
LPSR+
π
3
(5) 求める面積は
図の斜線部分
Sとおく
(2)より
k =
PQR
=
+ LPQR = A
LPQR=π
=
3
m=
et
2t
t
=
1 lug
k=
m =
3 のとき
et
+
=
+
t
e² = √13
灰
I
2
+
=
2
③よ
Y =
①より
et
1+k
=
13
+
23
2/3
2 +1
3
x=t+Ykm
2
1/兀(谷)
3
y
厚
(x,y) C2
lug }
R
x

ページ23:

= 1 Aug 3 + 213 14 13
log
2
= ± lug 3
log 3
3
+ 1/4
3
+ 1
予万川
5 =
0
e"dx
-
+
al
3
-)
2
- [e] 13
=
+
2
5
3
2匹
2
y
√
2
R
23
C₁
3
=
13 - e° +
=
6
4.3
9
3
-
5
6
3
9
4
9
兀
(各)
Q (X,Y)
R
10 3 by
log } +lug 3+1
x

ページ24:

3
fw = x²³ e₤
c: y = f (x)
(×20)
(1) f'(x) = (x²) e = ½ ² + x²· (e-)
=
3x²
e
3
x
= 3
xe
= 3x²-
=
=
2
e
3x²e
x'e ( − x² )
-
む
e
(-1/2x)
3
+
x
e
(-x)
4
-
x
e
f'(x) = 0
とすると
2
2
x20より
xe
2
x
=
x = 0
x = 0
0
x =
f'(x)の増減表
x
13 - x² ) = 0
3-x² = 0
- x² = - 3
2
x² = 3
y = 3-x²
A
f'(x) 0
+ 0
foo
f(0)
0 7
=
0
† (√13 ) = ( 13 )' e√(√11² = 3√ e² = =
f(x)が最大となる
xの値は
x = 3
(答)
ス

ページ25:

(2)
x>0
f(x) =
xe
- ½ (3 - x² )
=
(3x² - x) e- * *
-
f" (^) = (3x² - x")" · e² = ² + (3x²- x²)·(e¯ ) '
f(x)
f"(x)
=
x (x
= (6 x - 4x²) · e = = ²
=(6x-4x³)-4-3
==
= {6x-4x³
+
+(3x_xle-^)/
+ (3x²- x²) e** (*)
+ (3x²- x²) e f (-x)
(3x² - x²) (-x)) e-* *
= (6x-4x³-3x² + x³) e - $
= (x 5 - 7 x² + 6x) e-=-=-=
2
= x (x² - 7x² + 6) e = x²
2
= x (x-1) (x² + x²-6x-6)= = = = =
= x
(x-1) (x+1) | ²- 6) e¯ ±³±³
○とすると
( ) (x + 1) (x² - 6 ) e ¯ ± 0
x>0 £2 x = 1, -1,
=0
x=6
x = ± 1, ± √6
f(x)の凸凹表
x
f"(x)
0
+0
-
16
0
+
☐ ☐
7
0
6
1
-6-6
-6
-
6
0
-
-
6-6
- 1
-6
6
0
-6
0
+
tak
+
16
tw
f (1) = 1³ e
=
e
£ 116 ) = ( 16 )³ e-10)² = 6/6 0 — —² = 66 e-t
F
変曲点
12
2
e
6560-3
3
(1, e- & ). ( 16, 6/6 e³ ³ ) ( 3 )

ページ26:

(3)
(a)
a > O
(a. f(a))
接線l
原点を通る
3
tw) = x²² e t²
f'(x) = (3x²- x²) e "
(a, f(a))における
接線lは
a >o
-
y flas = f (a) (x - a)
" - a' e² = "" = (3a² - a") e-² ² (x- a)
y
= (³ a² - a") e- " (x - a) + a² e^ ^ "
原点を通るので
0
=
( 3a² - a") e-a² ² (o- a) + a'e="
3
a³
より
95
( a²
-
2
-
(0-a)
3
= (-3a² + a³) e- " + a² e q
5
= (- 3a² + a³ + a³) e-**
= (a 5 - 2 a³) e-₤
3
2)
a = O
a²
-
2
a
=
0
= 0
= O
= 2
ao より
a
=
√2
(答)
(b)
a = 2
の とき
接線lは
① より
a
2
= (³ a ² - a³) e² + (x - a) + a'e¯ = ""
3
= (322) e± (x-√2) + (√2)² e ¨ ±
-1
= (6-4)ē (x-/2) + 2/2 e-l

ページ27:

=
=
2 e ( x 2 ) + 2/2 e
-
+2/201
2 e x - 2√2 et + 2/2 é
=
201x
l: y = 2 ex
(1)
(2)より
x
の
t'u
f(x)
F()
増減凸凹表
0
+
+
+
0
+
-
Cとlで囲まれる部分は
図の斜線部分
求める面積をSとする
30
I
J6
1
-
-
5 = 1, " (2 e'x - x² e ) dx ①
ここで
=
0
[2
J³ 2 e x dx
= [ 2 e² — — — x² ] = [ e^ x² )
=
2
é" { (12)² - 0 }
e
201
-
0
+
6e
し
79
0
3
e
dx
2
= tε fic
x² =
2t
2x dx
=
2dt
=
xdakidt
(-1) dt
い
| [ B
x

ページ28:

X
t
0
E
°
t
x
[
3
e
dn
=
x dx
=
=
S."
2
( - 2 t ) e ² - (-1) dt
=
2 / t e t d t.
> [ [te']."' - / (treedt }
) - Fret de}
t
St (et)' dt.
-afte" -
=
=
=
2
21-e1
-1
0
=
[e'].')
2 | - c" - (e" -e "l
2 1 - è - è + P)
--
4 e +2
⑤
③
より
5
S
=
-
2 é" - (-4 é¹ + 2)
-1
=
2 e
=
60%
-1
+ 4e1 ・2
-
2
"
6
e
(答)