ページ3:

การต่อเนื่องใน Domain 1
กราฟไม่ขาด กันพิจารณ61 X
ระหวาง กลาง fun etion
ใช้ function 30
-ให้จุดที่ 4 อยู่ระหว่าง เราจะไม่รู้ว่า อันนาง
หาจุดชี้ใช้มาไปแทน
- หา nc เทียบกัน
การ 30% ความต่อเนื่อง
kที่จุดไหน
เงื่อนไขอย
6880
>0
√ log > 0,1
เงื่อนไ, โกน 3
ทำให้ จุดที่ไม่นิยมมี ค่า
64672 (Asymptotes)
"เลนปอ Yลัง
ญ
-แรง ;
1
สวย = O,
Disdiff
dim.
841
เศษ-to-in to see
k+C
f(x)=00
flx = lim fex oth)-f(x)
Seksin
h50
h
ความเร็ว - เวกเตอร์ - 1000 + ทอง (1)
→>
ความเร่ง → เวกเตอร์
เคลื่อนที่ ตวงเหวสั้น
T = \__ * ?
Z
dy=dy, du
o
du dx
act)
action
ที่ยาก ด
du
dy: 0
dy-du
as Linearization
L(x) = f (a) + f'ca) (x-9)
V(t)= ds
2
S
dt
dv
d7 dt
ชัดสูง, วัดสัมพัทธ์
18+ CK) CM : เรื่องในช่วงปี 8, Kt กับ, อยู่ใน Persies
f(x)=m, f(x) = M
for abs max = M
fu
for abs min = m
fcx, ) laga enga
Ex
Ex
1. abs max:
1. abs in "จุดต่ำสุดในช่วงปิด (เต่า)
Hats me
[fax)=0]
4. 1. พท : สุดที่สุดเมื่อเทียบกับขอบ
Ex:
และมี me
[t'x) = 0]
หวง ก
absmink
(max
Lmin
Lmin
abs min
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าสูงสุด และต่ำสุดสมบูรณ์ของ f(x) = x ในช่วง [2, 1] and int 4 -2,1
วิธีทำ 1. หาจุดวิกฤตทั้งหมดของ / ในช่วงปิด
f'(x)=2x
Akso
2. หาค่า ที่จุดวิกฤติ ติ และจุดสิ้นสุดทั้งหมด
f(x) = x²+
0,-2,1
fco) D² = 0 → min
f(-2)=(-2)² 4 min
f (1) 1² = 1
การเพิ่มลดของ กราฟ
3. หาค่าที่มากที่สุด และน้อยที่สุดจากข้อ 2
abs - 4
ตัวอย่างที่ 4 จงหาจุดวิกฤตของ f(x) = x3 - 12x - 5 และระบุช่วงเปิดที่ 1 จะเพิ่มขึ้น และที่ 1 จะลดลง
วิธีทํา (ต่อ)
(-2,11)
10
f(x) รับ จะได้ จุดวิกฤต
yy-3-12x-5
เอา ไปแทพในสมการ
ฟังก์ชัน f(x) = x - 12x - 5 เป็นแบบโมโนโทนิกที่สามารถแยกได้สามช่วง
Interval
f' evaluated
- Sign of f'
(2.-21)
ความเท้า
Behavior off
(02)
-00 < x <2
f'(-3)-15,
©
increasing
|-
(-1,2)
-2<x<2
f'(0)--12
decreasing
H
(2,0)
2 <<c
P'(3) = 15
+
increasing
Ex 9999 การประมาณซึ่งเป็น ของ f(x) = 144 x 50 ตัวอย่างที่ 6 จงหาความเว้า และหาจุดเปลี่ยนเจ้าของฟังก์ชัน f (x) = x - 3x + 2
ร
ะ 1+x
L(x) = f (a) = f (a) (x-a)
←
f(x) = (√1+x) = (1 + x)² = 1 (1 +
JK
f'ca) = f '(0) = √1140 = 1/
fcas = f(0)=√2+0 - 1
140
วิธีทา
{
1
2√1+x
in L(x) = 1 + 1 (*~0
= 1 +
2
Concave down
0
-I-Point of
inflection.
Concave up
หาอนุพันธ์ครั้งที่ 1: 3x - 6x
y = x - 3x + 2 หาอนุพันธ์ครั้งที่ 2: 64 - 6
kk
6x-610
x = 1 คือจุดเปลี่ยน เข้า
x=0
kuz
• Tuf "(0) =6(0) -+ + " (R)=6(2)-6"
010
ลง
04 0.
น

ページ4:

สรุป
ดิฟ 1 ครั้ง
- 20 เพิ่ม
Fzo ลด
450
กิฟ 2 ครั้ง ; -> 0 เจ้าขึ้น U
fco ต้อง ก
ม
กฎพีชคณิตสำหรับผลรวมจำกัด (Algebra Rules for Finite Sums)
Algebra Rules for Finite Sums
- ดิฟแบ
1. Sum Rules
(a
2. Difference Rule:
b) =
3. Constant Multiple Rule:
Sc=n.c
(Any number c)
għ f'cc) =0, f″ (c) <0 %&'hgogne
3 f'cc) = 0, f" (c)> 0
การสร้างกราฟจากข้อมูล
ขั้นตอนการสร้างกราฟ y = f(x)
1. ระบุโดเมนของ / และความสมมาตรของเส้นโค้ง
2. หาอนุพันธ์ y และ y”
3. หาจุดวิกฤตของ / ถ้ามี และระบุพฤติกรรมของฟังก์ชันในแต่ละจุด
4. หาว่าเส้นโค้งเพิ่มขึ้น และลดลงที่จุดไหน
5. หาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี) และหาความเว้าของเส้นโค้ง
6. ระบุเส้นก๋ากับที่มี
4. Constant Value Rule:
(Any number c)
20
The first n integers:
k =
n(n+1)
2
Σk² =
n(n+1)(2n+1)
6
7. พล็อตจุดสำคัญต่างๆ เช่น จุดตัด และจุดต่างๆ ในขั้นตอนที่ 3-5 และร่างเส้นโค้งพร้อมกับเส้นกำกับที่มี
✓
การแก้ปัญหาโจทย์ ปาทา (วิเคราะห์ ที่หน้างาน)
การแก้ปัญหาเพื่อทําให้เหมาะสมที่สุด (Solving Applied Optimization Problems)
1. อ่านปัญหา จนกว่าจะเข้าใจว่าโจทย์ก้าหนดอะไรมา และปริมาณใด ต้องการจะปรับให้เหมาะสม
2. วาดภาพ กำาหนดเครื่องหมายที่สำคัญต่างๆ
3. กำหนดตัวแปร เขียนความสัมพันธ์ทั้งหมดลงในรูปภาพ และในโจทย์เป็นสมการ รวมทั้งระบุตัวแปรที่ไม่ทราบ
4. เขียนสมการสําหรับปริมาณที่ไม่ทราบ ให้แสดงค่าที่ไม่รู้จักเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว หรือเป็นสองสมการจาก
ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสองตัว
5. ทดสอบจุดวิกฤติและจุดสิ้นสุดในโดเมน ใช้อนุพันธ์อันดับ 1 และ 2 เพื่อหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน
Integals
Buf(x)
LP Per S41 : [ใหญ่กว่า ok - ของแท้ไป แต่ในตัวได้ สูงสุด x ความกว้างขององ
lower Fun : เล็กกว่า กราฟ - นำของเข้าไป แทนแล้วได้ต่ำสุด : ความกว้างของช่อง
1) ขา คนของทั้งหมด (4x)
2) 1 X - จำนง (ปีที่ต้องแข่ง)
3) ได้ช่วงขอ
4)
3) ค่าที่แต่ไปแทน มารวมกันจะได้เ
ves function
พ.ท.ใต้กราฟ
จุด สุดท้าย - จุดแรก (ช่วงที่วิเคราะห์)
ลรวม 2
2 ak
K=1
+1
xfcx)
midpoint Rale
ดุษ
The first n squares:
The first n cubes:
k-l
Σ k² = {n(n + 1))²
อินทิกรัลของฟังก์ชันต่อเนื่อง (Integrability of Continuous Functions)
Or.N
1. Order of Integration:
f(x) ax
f(x) dr
2. Zero Width Interval:
3. Constant Multiple:
4. Sum and Difference:
5. Additivity:
L
kfix) dx-
f(x)dx
| (f(x) :: g(x)) dx =
A definition
when fia) exists
Any constant
at
- 1500 de ± 1800 de
by: [fix) dx + [fix) dx = [[50
fox dr
6. Max-Min Inequality: Iff has maximum value max fand minimum value
min fon [a, b], then
a) s fix) dx (max f)-(b-a).
ป สย
(min f)-(b
==
(x) dr.
7. Domination: If f(x) = g(x) on [a, b] then fix) dx 2
If f(x) = 0 on [4, 6] then f(x) dx = 0)
Special case
Note, ถ้า พ.ท.ให้ธรรมไม่เท่ากันทั้งวง ใช้แบ่งช่วง ๆ เช่น อิดะ, และ function เป็นต้น
ไม่ต่อเนื่องไม่ขาด) เฉลี่ย
ทฤษฎีบทพื้นฐาน ตอนที่ 1 (Fundamental Theorem, Part 1)
| THEOREM 4 - The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1
ถ้า / ต่อเนื่องในช่วง [4, 6] ดังนั้น F(x) = f(ft จะต่อเนื่องในช่วง [a, b] และหาอนุพันธ์ได้ในช่วง (a,b)
และอนุพันธ์คือ f(x)
Ex
d
บนเสม
F(x) = 4 / (1) dt = f(x)
F(x)=
f(x²+x)' (3x²+1)dx
ตัวอย่างที 6 จงหา
วิธีทา `u = x² + x
dx
=3x+1
3x²+1
ROCK
feed+
Su³ (3x²+1) dx
, เส้นโค้ง
Sundy,dx="
dx
Tlec
(2K²+1)
541
Joy due el e c
6
การจนทรัล สมาสม มาตร
6
+C
THEOREM 8 เมื่อ / ต่อเนื่องในช่วงสมมาตร [-a, a]
f
(a) ถ้า f เป็นฟังก์ชันคู่ จะได้ f f (x kit = 2 ( x kire
=0
(b) ถ้า f เป็นฟังก์ชันคี่ จะได้ f (x) = (
()
+C