線形代数2 05.線型写像の行列表示 6.練習問題

えむけー

2026.05.10 公開

大学数学

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ノートテキスト

ページ1:

No.
Date 26.5.10
05. 線形写像の行列表示 6.練習問題
5-6-1
121
V=
X2 ER³ X + X 2 + X =
ヘベクトル空間の定義
3次元に見えるけど、制限があるので実質2次元写先の基底
Xi
(x3)
fx=x←写像fの内容
□写像の話か?
□写像の内容
f()=(2)みたいなから
□写元の基底
□写元の空間(定義域)
□写先の空間(値域)
x2
f:VV←写像の定義域と値域
Vの精度としてv= (1) 12=(0)
0-1
(f(vi) f(V2))=ii
f=(7)
□基底の変換
□定義域の変換や
口値域の変換Q
をとる←
写元の基底
写す先の基底でもある
(2)
(11) = ~ ~ A = (ji) A
(ii) (i) (22)
=-10
0-1
A=(6)
au)
(家)を基(()でます
(下)(2)(4)
(2)を基(?)で表すと
(1)()()
-10
1-0
autaz=0
-Qu
=1
-a21=-1
a12+022=-1
-ar
=1
-022=0
優
(3)
1-11
a₁₁ =-1 α12=1
021=102220

ページ2:

Vの基底を
1/
V₁ = -1/12
1/56
V2= 1/16
0
No.
Date
1-2/16
1/√2 4/NG\
0
-2/561
写像の行列表示は
に変える。どうなるか?
対
P11+P21=1/12 P1=1/12
-Pil
0=1243-=
-P2=0
P21+Pz2=1/16 P21=-1/16
=YNG
PEL
P2=2/06
B = QAP!
(ViVz)P=(v.12)
1/12 1/1
-1/2 1/6 = -1
0-26
P= (NZ
P = (№2 16/2
'NZ Y√z
02/16
B=PAP-1=
(
NE
2/1
Des
PHENZ PA1z=VIz
1/1P+1/16 P21=1
P21=0
P22=2
N6/2
11/12P1+1/16P21=-1
-2/56 P₁ = 0 Q=P= (√2 Y/NZ
1/12P12+1/1622=1
-1/12 P12+1/16P=z=0
-2/N6P22=-1
(Opin Pla) (12/12) = (10)
PL (0P-1
1/2 Y/N
0√6/2
√2 1/12
016/2
Plz plzz
1/12 - 1/16
0
2/16
1-Y/NZ -1/16
21/1-31/11
(-1/2-9/2)
№3/2-1/2
↑これは」と同じ
Cos 1200
Sin 1200
-Sin 1200
COS1200
N6/2
4/53-4/203
(1) (12
//√2 4/16
02/56
NZ.-Y/N6 + 1/√√2--4/16
-1/13-1/21
3/2√3 - 1/213
ニー
3/203
248-2
=-31316
= -1 13/2 = -√√3/2
なので120℃の回転操作なんだって

ページ3:

No.
Date
26.5.10
05-線形写像の行列表示 6.練習問題
5-6-2
ベクトル空間V,W
線形写像f=V W
Vの基底(ViV2)
WA (W W2 W3)
V,Wの基底で表したfの行列表表示が
10
01
A=
0
基底を変える
Vovi = Vi+ Vz
Wo wi₁ = W₂
V₂ = V₁-V2
W2=W3
W3 =W₁ B
fを新しい基底(Vi V2) (2', w2w's)で表した行列を考える
✓の基底を変えたPを考える
(ví V2) (VI V₂)
(4+√2 V₁-V₂) P = (vivo)
(ぬ)を10%)とすると
(V, V2)17
(14) P = (60)
(11)(FP)=(01)
Put P21 = 1
Piz + P22 = 0
P₁L-P2 =0
P12 P22=1
(Vi V'z) (v₁ V₂)
P
P₁i (V₁+ √2) + Pz (Vit-√2)=x<
PEV +P + D-P√2 = √1
22
V₁ (Pll + P21-1) + √2 (P₁l-P21)=0
P₁z (Vit √₂) + Paz (V₁-√2) = √₂
VIP12+212 +VIP22-√21/22=√2
VP12+ P22) + V2 (P12-P22-1)=0
P1=1/2 P12=1/2
Para 1/2 Pez=-4/2 P= (1/2 1/2 ).
(V₁t V V₁-V2) = (V₁ √2) (14)
(1 √2) = (V, V₂) (++)
4/2-1/2

ページ4:

No.
05. 線形写像の行列表示
(V₁ √2) = (v₁ √₂) (1-1)
(f(vi) f(v₂)) = (wi we ws) B
487427
Date
26.5.10
6.練習問題
00
(wi w'₂ W₂) = (w, W₂ Ws)
100
100
010
(f(vi) f(v2)) = 1) (1 1) = (w, w₂ w₂) 100 B
(f(vi) f(v₂)\\
010
1 D'
(f(vi) f(v>)) = (w₁ Wz Ws) 01
01
001
(W, W₂ W3)
01
01
= (W, W₂ W3) 100 B
010
b₁ =1
100
010
b31=1 b32=1
612=-1
B
1-1
B=
621 = 1
622=1

ページ5:

5-6-3 (Vi va V's) = (V₁+V₂ Vz V₁-V3)
= (V₁ √₂ √3)
(Wi W₂) = (W, W₂).
(i)
10
110
00-1
(f(v₁) f(v₂) f(v₂)) = (w, w₂) | (101)
(f(vi) fev₂) f(vs)) = (wi w'₂) B
101
01=6572 (f(vi) f(v2) f(v3)) = (f(vi) f(V2) f(v37) 110
(001) (110 - (w, w₂) (11) B
(wi
W₂)
(101) (01/B
00-1
(101) (1-10)=(01) B
(10
B = (111) (110) = (ii) B
-B-(100)