Question

佐藤

確率の勉強をしている学生なのですが、この問題が分かりません。どなたか教えていただけませんか。

練習問題 1.8 (積率母関数) X を非負の確率変数とし,
x(t) = Eetx
は全てのt∈ に対して有限であると仮定する.さらに,全てのt∈ R に対し
E [XetX] < ∞ であると仮定する.この練習問題の目的は, '(t) = E [Xetx] で
あり、特に'(0)=EX であることを示すことである。
微分の定義, すなわち次式を思い出そう.
4'(t) = lim
x(t) - (s)
lim
st
t-s
st
EetxEesx
t-s
「etx
=
lim E
st
t-s
上式の極限は,連続な変数sについて取っているが,t に収束する実数列{8}n=1を
選ぶことができ, 次を計算すればよい.
「etx
e³n X
lim E
sn→t
t-Sn
これは、次の確率変数の列
etx
-enx
Yn
=
t-Sn
の期待値の極限を取っていることになる.もしこの極限が, t に収束する列{Sn}=1
の選び方によらず同じ値になるならば、この極限も limotE [ex と同じで,そ
れは '(t) である.
.tx sx
←
-e
t-s
解析学の平均値の定理の主張は,もしf(t) が微分可能な関数ならば、任意の実数 s
ともに対し,stの間の値の実数0で次を満たすものが存在するというものである.
f(t)-f(s) =f' (0) (t-s).
もしweΩを固定し,f(t) = etx(w) を定義すると,この式は,
etX(w)_esx(w)=(t-s) X (w)e (w)x(w)
(1.9.1)
となる.ただし,(ω) はωに依存する実数 (すなわち,tとsの間の値を取る確率変
数)である.
(i) 優収束定理 (14.9) (191) 式を使って,次を示せ.
lim EY = Elim Yn=E [XetX] .
(1.9.2)
n→∞
[n→∞
このことから,求める式 4'(t)
[XetX ] が導かれる.
(ii) 確率変数 X は正の値も負の値も取り得、全てのt∈Rに対し Eetx < かつ
E [|X|etX] < ∞ であると仮定する。 再度 '(t) = E [XetX] を示せ(ヒント:
(1.3.1) 式の記号を使って X = X + - X- とせよ . )

確率論 ファイナンス 確率解析 大学数学

Answer 1

哲治

https://math-note.xyz/analysis/measure-theory/probability-theory/derivative-of-moment-generating-function/
「ルベーグの収束定理を使えば終わり」なお話なのですが、それを使うための優関数を取ってくる部分の議論がやや込み入ってます。
(I)はこのサイトそのままです。