数ⅠA【図形の性質】高3第1回全統共通テスト模試

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High3

▷ 2025年度4月第1回自学

2026.04.25 公開

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ノートテキスト

ページ1:

数学Ⅰ 数学A ( 全問必答)
第3問 (配点 20) 自学()
D
F
E
B
G
A
参考図
鋭角三角形ABCにおいて, AB = 4, AC = 3 とする。 △ADE は,
△ABC を平面 ABC 上で点Aを中心に回転したものであり,△ABC
と△ADE の頂点はこの順に対応している。 点 E は線分AB 上にある
とし,さらに,直線AB と直線 DC の交点をF, 直線 BCと直線 DE
の交点をG とする。
このとき
AE
=
ア
EB =
イ
であるから
である。
AE: EB = = ア
..
イ
また,△ABC = △ADE より,∠BAC = ∠DAE であることに注
意すると
CF:FD = ウ
エ
である。
(数学Ⅰ 数学A第3問は次ページに続く。)

ページ2:

(1) DE:EG = 4:1 とする。
△CDG と直線 BF に着目すると, メネラウスの定理により
GB
オ
=
BC
であり
(△BGE の面積)
キ
(△CAE の面積)
ク
である。
(2) △ADE の外接円と直線 BD との交点で, 点 Dとは異なる点を H
とする。このとき,鋭角三角形ABC の形状によらず, 4点 C, G,
H, D は同一円周上にある。このことは,次の構想に基づいて, 後
のように説明できる。
構想 4点 C, G, H, D が同一円周上にあることを証明する
ためには
.
BH BD =
ケ
を示せばよい。
4点 A, E, H, D は同一円周上にあるから, 方べきの定理により
•
BH BD =
コ
である。
①

ページ3:

=
=180°であるから,4点
また,∠BCA+ /
同一円周上にある。
サ
よって, 方べきの定理により
シ
は
ケ =
コ
である。
①,②より, BH・BD
=
ケ
であるから,鋭角三角形ABCの
形状によらず, 4点 C, G, H, D は同一円周上にある。
ケ の解答群
OBG BC
① CG・CG
② BG2
サ の解答群
◎ AEG
① CAE
GEB
の解答群
O A, C, F, G ::①::: A, C, E, G
② C, E,F,G

ページ4:

2025 年度 第1回全統共通テスト高3模試@自学 Akagi
第3問 【図形の性質】
D
△ABC≡ △ADE より
AE = AC = 3
EB = AB - AE=4-3=1
であるから
AE: EB
= (3) :①
B
F
E
G
○
> ∠BAC = ∠DAE で, 内角の二等分線と比の定理により
CF : FD = AC: AD = 3:4

ページ5:

(1) DE:EG:
=
④: ① とする。 △CDG と直線 BF でメネラウスの
定理により
GB CF DE
×
1
(4)
BC FD
EG
4
1
GB 3
×
BC 4
GB 1
BC 3
× --
1
→ BG:GC = ① :②
[T]
E
①
B
D
△BGE の面積をSとすると
BG : GC = 1:② より
△CEG = 2S
よって
③
F
IS
E
①
S
2S
B
G
BE: EA
=
①③ より
△BCE = S + 2S = 3S
△CAE =△BCE×3=9S
したがって
(△BGE の面積)
(△CAE の面積) IS
A
OC
・C
中2: 等積変形
高さが等しい三角形の
S
1
面積の比は底辺の比
=
=
9
に等しい

ページ6:

(2) 4点 C, G, H, D が同一円周上にあることを証明するためには
BH.BD = BG.BC
方べきの
定理の逆
を示せばよい。
4点 A, E, H, D は同一円周上にあるから, 方べきの定理により
BA
BH BD
•
=
BE
= 1
.
4
=
また, △ABC≡ △ADE より ∠ACB= ∠AED
よって
∠ACB + / AEG = 180°
であるから, 4点 A, C, E, Gは同一円周上にある。
よって, ナンタラカンタラ･･･