✨ Best Answer ✨
何の誘導もなしにいきなりこの問題があったんでしょうか？
(1)(2)ができた前提で話します。
(3)を見た段階で、(2)が2乗+2乗の形になっているから、(ac+bd)^2+ (ad-bc)^2=2020と考えて、、(ac+bd)と(ad-bc)を求めるんだなと思わないといけないですね。
(2)より
=(ac+bd)^2+ (ad-bc)^2
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=2×2×5×101
ここで、着目すべきなのが、またかっこのなかが2乗+2乗になっているということです。問題文冒頭、4で割って1余れば2乗+2乗になると書いていますよね。2と5と101のうち101と5は条件に合致します。よって2020を(101,20)にわけるか(404,5)にわけるかのどちらかです。
101=10^2+1^2、20を2乗+2乗にできたらいいですね。2^2+4^2=20だから(a,b,c,d)=(10,1,2,4)となり、この場合答えは
ac+bd=20+4=24
ad-bc=38
となります。
これがひとつの答えです。
一方、404=20^2+2^2とできるので、5=1^2+2^として(a,b,c,d)=(20,2,2,1)とでき、このとき42^2+16^2となります。
余談ですが、ここからさらに(42^2+16^2)(24^2+38^2)ということを考えたら、
ac=1008
bd=608
ac+bd=1616
ad=1596
bc=384
ad-bc=1212
となるため
1596^2+1212^2=2020^2
となります。
これ以外に(16^2+42^2)(24^2+38^2)というような並び替えの場合もあり、また2020^2が2通りで表記できて、これが続いていくと思われます。
確かに解説とか下の方がやっているように4を2^2として扱って整理していく方が答案として綺麗ですね。
(3)です