Question

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この青い線はどこが変形して生まれたものですか？？？
そして数学的帰納法の不等式の証明、コツやポイントなどがあれば教えていただきたいです😭

上が問題で下が解答となっております💦

|43 a>0で, nは自然数とする。不等式(1+a)">1+naを,数学的帰納法によって証明せ
よ。
143 (1+4)"21+na
0 とする。
|47|(
[1] n=1のとき
左辺=(1+a)'=1+a, 右辺=1+1·a=1+a
よって, n=1のとき, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち
(1+a)*21+ka ②
と仮定する。n=Dk+1のとき, ① の両辺の差を考えると
(1+*+1_{1+(k+1)a}=(1+a(1+a)^-{1+(k+1)a]
(1+aX1+a)*-!1+(k+1)a}(1+a)(1+ka)-(1+(k+1)a},
2から
- ka'>0
(1+a)*+1_{1+(ね+1)a}Z0
すなわち (1+a)*+1M1+(k+1)a
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
よって
[1], [2] から,すべての自然数nについて① は成り立つ。

数学的帰納法 不等式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

どこかを変形したわけではなく、②で
(1+a)^k≧1+ka
が成り立つと仮定しています。
ここから、両辺に(1+a)をかけて
(一応確認のため、a>0だから1+aは正の数なので、かけても不等合の向きは変わらない)
(1+a)(1+a)^k≧(1+a)(1+ka)
も成り立ちます。
また、-{1+(k+1)a}を両辺に足していますが、これも両方とも正の数なので不等号の向きは変わりません。

きらうる

帰納法の不等式のやり方は、等式とほとんど変わりません。
①n=1のとき成り立つかを調べる
②n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1の式が成り立つことを証明すればいいです。
なんかコツになってなくてすみません。

🐯

わかりやすく説明してくださりありがとうございます！！！