Question

✰haruto✰

途中式込みで解き方を教えてほしいです！

(3) 27? + 96° =72? +69° =D 9945のように, 2 けたの自然数の2乗の和と, それらの十の位と一の位の数を入れ
かえた数の2乗の和とが等しいことがあります。 このとき, 57° +(ア) =D75°+(イ)を満たす2けたの自然数を
求めなさい。ただし、アが75,イが57 の場合を除きます。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ブドウくん

移項して
75²-57²=ア²-イ²
とします。
左辺について2乗-2乗の因数分解公式から
(75+57)(75-57)=132×18
とできます。
一方ア=10a+bと置くと、イ=10b+aであるから右辺は
(10a+b)²-(10b+a)²
=(11a+11b)(9a-9b)
=99(a+b)(a-b)
です。
ゆえに、両辺を99で割って
(a+b)(a-b)=24
これを満たす1~9の整数a,bを求めます。
aとbは正の数なのでa+b>a-bなので(a+b,a-b)=(2,12)のようなペアは考えなくてよくて、(a+b)+(a-b)=2aより足して偶数になるので、(24,1)(8,3)なんかも24+1=25なので考えなくてよいですね。よって考えられる組は
(a+b,a-b)=(12,2)(6,4)
です。
a+b=12,a-b=2 →a=7,b=5
この場合は問題文で除くと書いているので除きます。
a+b=6,a-b=4 →a=5,b=1
よって、答えは51と15です。
写真のように一般化すれば、どのような条件のときに等しくなるのかがわかります。