Question

ゆさ

この式は2n(n-1)-4になります。
なぜこうなるのか教えて下さい。

1辺の長さが1cm の正方形の黒いタイルを重ならないようにすき間なくしきつめて, 1辺
の長さがn cm の正方形をつくる。
次に、しきつめたタイルのうち, 4つの辺がすべて他のタイルと接しているタイルの中か
ら1つだけを,他のタイルが動かないように取り除く。
この状態で、となりあう2つのタイルが接している1cmの辺の部分を「共通な辺」と呼
ぶこととし、その「共通な辺」の中点に小さな白い丸シールを1枚はりつける。このよう
に,すべての「共通な辺」に小さな白い丸シールを1枚ずつはりつけ,そのシールの枚数
を調べることにする。ただし, nは3以上の整数とする。
次の表は,n=3, n=4 のときの,図の例とはりつけた小さな白い丸シールの枚数を示し
たものである。
nの値
3
4
図の例
はりつけた小さ
な白い丸シール
の枚数(枚)
このとき,次の問いに答えなさい。
(1) n=5 のとき, はりつけた小さな白い丸シールの枚数を求めなさい。
(2) はりつけた小さな白い丸シールの枚数が308のとき,nの値を求めなさい。(神奈川県)
8
20

Answer 1

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Clearnote User

白い正方形の辺上にもシールがあると考えて、あとでその分の4枚を引くと考える。
この条件の下で、横の列（縦の列でも同じ）に区切ってそれぞれの列に何枚のシールがあるか数えると、
n=3のとき、2枚の列が3つ、3枚の列が2つ
n=4のとき、3枚の列が4つ、4枚の列が3つ
となり、これらから余分な4枚を引けば良いことになり、これを式で表すと、
n=3のとき　 (2×3)+(3×2)−4
n=4のとき　 (3×4)+(4×3)−4
このことをnを使った式で表す(N枚とする)と、
N={(n−1)×n}+{n×(n−1)}−4
N=n(n−1)+n(n−1)−4
N=2n(n−1)−4
となる。

ゆさ

ありがとうございます😊