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基本 例題206 3次関数の極値の条件から関数決定
基
-6をとるとき,定数 a, b, c, dの値を求めよ。
基本200
指針> S(x) がx=αで極値をとる=f(a)=0 であるが,この逆は成り立たか。
よって,題意が成り立つための必要十分条件は
(A) x=0 で極大値2
x=2で極小値 -6 → f(2)=-6, f(2)=0
(B) x=0の前後で f(x) が正から負に, x=2の前後でf(x) が負から正に変わっ
を同時に満たすことである。
ここでは,必要条件(A) から, まず a, b, c, dの値を求め, 逆に,これらの値をもとの
数に代入し,増減表から題意の条件を満たす(十分条件)ことを確かめる。
(3
。
f(0)=2, f'(0)=0
指
解答
0-0
f(x)=3ax°+2bx+c
x=0で極大値2をとるから
x=2で極小値一6をとるから/S(2)=-6,f"(2)=0 1 一必要条件 (変数4個で熱
f(0)=D2, f'(0)%3D0 静同
よって
d=2, c=0, L
8a千46+2c+d=-6, 12a+46+c=0<
a=2, b=-6, c=0, d=2
式が4個であるから,髄
は決定する)。
これを解いて
の逆に,このとき
f(x)=2x°-6x?+2
f(x)=6x°-12x=6x(x-2)
f'(x)=0 とすると
関数のの増減表は右のように
なり,条件を満たす。
ここから,十分条件である
ことの確認。
の
x=0, 2
x
0
2
0
極大
f(x) /
極小
-6
f(x)の符号の変化を,増
減表で示している。
2
したがって
a=2, b=-6, c=0, d=2
I
丁寧にありがとうございます😊