ここでは,必要条件 (A) から, まずa, b, c, dの値を求め,逆に,これらの値をもとの展
基本 例題206 3次関数の極値
-6をとるとき,定数 a, b, c, dの値を求めよ。
墓本0
8さ
ない。
よって,題意が成り立つための必要十分条件は
(A) x=0 で極大値2 → f(0)=2, (0)=0 o
x=2で極小値 -6→ f(2)=-6, f'(2)=0
(B) x=0の前後で f (x) が正から負に, x=2の前後でf(x)が負から正に変わる
を同時に満たすことである。
ここでは,必要条件(A) から, まずa, 6, c, dの値を求め, 逆に,これらの値をもとの
数に代入し,増減表から題意の条件を満たす(十分条件)ことを確かめる。
解答
0-0
f(x)=3ax°+26x+c
x=0 で極大値2をとるから
x=2 で極小値一6をとるから f(2)3D-6,f'(2)30
f(0)=D2, f'(0)3D0 同
d=2, c=0,
8a+46+2c+d=-6, 12a+46+c=0-
a=2, b=-6, c=0, d=2
必要条件(変数4個で熱
式が4個であるから,髄
は決定する)。
よって
これを解いて
『逆に,このとき
f(x)=2x°-6x°+2 …… ①
f(x)=6x?-12x=6x(x-2)
f(x)=0 とすると
関数のの増減表は右のように
なり,条件を満たす。
ここから, 十分条件である
ことの確認。
x
0
2
x=0, 2
0
極大
2
f(x)の符号の変化を、
減表で示している。
f(x)
極小
-6
したがって
a=2, b=-6, c=0, d=2
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