Question

さくら

数2の微分の問題です。この問題の場合分けを分かりやすく解説してほしいです

04
文字係数を含む 3 次関数の最大・最小
発展例題 182
福
CHARI
& GUIDE)
■解答
aは定数で,a> 0 とする。 関数f(x)=x-3a²x(0≦x≦1)について
(2) 最大値を求めよ。
(1) 最小値を求めよ。
x 20
a
文字定数αのとる値によって, 関数f(x) のグラフの形が変わるから、 場合分け
最大･最小 増減表を利用 極値と端の値に注目
て考えなければならない。
(1) 極小値をとるxの値α が 0≦x≦1 に含まれるかどうかで、 場合分けする。
(2) この問題の場合, 極大値は影響しないから, 定義域の端の値を比較する。
......
...
[1], [2] の増減表から
f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a)
f'(x)=0 とすると
x=±a
■ a>0 であるから, 0≦x≦1におけるf(x) の増減表は, 次のようになる。
[1] 0<a<1のとき
[2] a≧1 のとき
20
4382716
1
f' (x)
20 +
f(x) 0-2a³7 1-3a²
*41E -> G
KER
Y4 42
0<a<1のとき x=αで最小値-2a3
基礎例題 174
a≧1 のとき x=1で最小値1-3α²
(1) の [1] [2] とそれぞれの増減表から
] 0<a<1のとき
最大値は f(0)=0 またはf(1)=1-3q²
ここでf(1)
も主にそ
...
1
f'(x)
f(x) 01-3a²
←極小値をとるxの
義域内にある。
定義域の端の値
最大値
発展
a,
(1)
(2)
CH
H
(1)
f
a
0
C
(2)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

微分した結果、
x=aという点でf'(x)=0（傾き0）となるので、
x=aという点に興味があります
なお、問題の設定上aは0より大きいです
数直線で言えば0より右です

ここで、定義域は0から1です
グラフのうち0から1の範囲だけ見ます

もしaが0と1の間にあれば、
0と1の間で傾き0になるところがあります
もしaが0と1の間にない（つまりaは1より右）なら、
0と1の間には傾き0になるところはありません
このどちらなのかによって、最大や最小は変わります

ということで、
aが0と1の間にあるのか1より右にあるのかで
場合分けすることになります