Question

大学一二年生

確率統計の問題です。かなり難問で詳しく解説いただけると幸いです。

問5次のようなパズルのような問題がある.
問題を簡単にするために1年は365日とする (閏年は考えない). ある工場では人の工員を雇うことにする
が,このうちの1人でも誕生日の人がいればその日は休みに, 1人も誕生日の人がいなければ働き、その日は
人数と同じn (単位) の利益を得るものとする。このとき,この工場の1年間の利益は働いた日数 xn にな
る.例えばたまたま全員が同じ誕生日の場合は働いた日数=364 なので 364n の年間利益を得る.
n人の工員をランダムに雇うとき, すなわち人それぞれの工員の誕生日は独立で一様分布に従うときこの年
間利益は確率変数になるが,その期待値を f(n) とする. この f(n) を最大にする n を求めよ.
この問題は一見かなり難しいが以下の設問に沿って解答することにより f(n) を最大にする n とその時の f (n)
の値を求めよ.
(1) n 人の工員を雇うとき,確率変数 S を1人も誕生日の人がいない日数とするとき f(n) を S (やその期待
値, 分散など) を用いて表せ.
(2) i=1,2,...,365を日にちを表すパラメータとする. 確率変数 X を次のように定める
1日に1人も誕生日の人がいなかった場合
Xi =
0日の誕生日の人がいた場合
このときP(X = 1) を求めよ.
(3) (2) の設定で S を X を用いて表せ.また E[S] を求めよ.
(4) 以上を用いて f(n) を具体的に表せ.
(5) (4) で求めた f(n) より f(n+1)-f(n) を考えることで f (n) が最大になる n を求め, f(n) の最大値 (の
近似値)を与えよ.