Question

nico

数学です。
1行目の最小値を求めたいのですが、問題の誘導でyを定数と考えて解いています。求め方はわかったのですが、なぜこれで最小値が出るのか理解できません。どなたか教えていただきたいです。曖昧な質問ですみませんm(_ _)m

Z=3x²+2xy+y2+40-4y+3.
い
sy
y2+2xy-4y+3x4x+3
{y+=(x-2)}+2x+8x-1
662
2x8x-1がmin
278x-1
2(x+4x)-1=2(x+2)-9
{y+(x-2)}^2(x+2)-9

2次関数
(1)
37 最大・最小 (IV)
x, yがすべての実数値をとるとき, z=x2-2.xy+2y'+2x-4y+3
について,次の問いに答えよ.
S-=
(1)yを定数と考えて, xを動かしたときの最小値をyで表せ
(2)(1)のmにおいて,yを動かしたときの最小値を考えることで、
zの最小値とそのときのx,yの値を求めよ.
エト
=v
精講
変数が2つ(xとy)ありますが, 36のように文字を減らすことが
できません.このような場合でも, 変数が独立に動くならば、片方
の文字を定数と考えることによって, 最大値や最小値を求められます。
解答
(1) z=x2-2(y-1)x+2y2-4y +3
={x-(y-1)}-(y-1)+2y2-4y+3
={x-(y-1)}2+y^-2y+2
よって,m=y-2y+2
(2)m=y-2y+2=(y-1)^+1
... z={x-(y-1)}2+(y-1)2+1
{x-(y-1)}2≧0, (y-1)2≧0 だから
x-(y-1)=0 かつ, y=1, すなわち
x = 0, y=1のとき,最小値1をとる
式をxについて整理
◆平方完成
このと
A,Bが実数のとき
A+B2≧0
等号は A=B=0
のとき成りたつ
ポイント2変数の関数の最大・最小を求めて

Answer 1

✨ Best Answer ✨

プチトマト

写真の中で出てきたものを使って簡単に平方完成について考えると、
2x^2+8x-1=2(x+2)^2-9
では、xが(実数で)どのような値をとったとしても、(x+2)^2は常にゼロ以上になります。なので、
常に
(x+2)^2 >= 0
が成り立ちます。したがって
(x+2)^2-9 >= -9となって、”-9”の部分がこの式の最小値となります。
変数が増えても同様になります。
{y+(x-2)}^2+(x+2)^2-9
は、yを変数として考えて、{y+(x-2)}^2がゼロ以上なので最小値として(x+2)^2-9になります。この式の最小値はx=2のとき-9です。
{}のほうの平方完成から最小値はy=-(x-2)=0のときとなるので
x=2, y=0のとき最小値-9です。

nico

丁寧にありがとうございました！
理解出来ました！