Question

みむ

53（2）
黄色く線を引いたところの二乗のやり方がわかりません。
絶対値が二つある時どうやるのですか？

△ 53 次の不等式が成り立つことを示せ。
(1) a +26|≦al +216 |
*
|-6|≧||0|-|6||

Answer 1

✨ Best Answer ✨

Take

みむ様
以下、ベクトル x を記号【x】で表す。
① ベクトル【a】に対して、|【a】|²=【a】・【a】　←ベクトルの大きさの 2 乗は、内積
② 実数 a に対して、|a|²=a²　←絶対値の2乗は、中身の2乗
のちがいに気をつけてください。
(2) (証明)
(左辺)²-(右辺)²　←(大)²-(小)² をする
=|【a】-【b】|²-| |【a】|-|【b】| |²
=(【a】-【b】)・(【a】-【b】)-( |【a】|-|【b】| )²　←第 1 項に公式①、第 2 項に公式②を利用。|【a】|-|【b】| は実数。
=|【a】|²-2【a】・【b】+|【b】|²-|【a】|²+2|【a】| |【b】|-|【b】|²
=2(|【a】| |【b】|-【a】・【b】)
≧0　(∵【a】・【b】=|【a】| |【b】|cosθ≦|【a】| |【b】| 　…(☆))
∴(左辺)²≧(右辺)²
ここで (左辺)≧0 , (右辺)≧0 であるから (左辺)≧(右辺)。すなわち、
|【a】-【b】|≧||【a】|-|【b】||
等号成立は (☆)から、(【a】=【0】) or (【b】=【0】) or (【a】と【b】が平行、かつ、【a】と【b】の向きが同じとき)
(証終)
となります。

みむ

ありがとうございます！