Question

Yuuki！

積分回転体の堆積です
私の解答になにが違うのかご教授ください。
長いですがよろしくお願いしますお願いします。

発展
519 放物線y=x2-x と直線 y=x との原点O以外の交点をAと
する。 この直線と放物線によって囲まれた部分を, 直線 OA を軸
として1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。

2
y=x-x
2X-X
hr
y=x
√2
2.2
・2
h de
T
で
h
P
2 xx
y=xxxで囲まれた部分をyxを薄いして
回転させたときの体積を求めたい。
→yペーx1の(+ポーヒ)とおく。
Pからy=xxに垂直に下ろしたとき、交点をQとする。
PQの長さは点と直線のキョリの関係より、1F
It-t-t)
2
5(ピ)とnyoのキョリ
よって
2
πC)² (+ He² ) )² de
解答は拡大でした。

20 ) sin Odo
cos' 0 ) (cosoydo
cos 20 ≥0
1 → 1
519
指針
「メローマ曲
直線 y=x上の点を通り, 直線 y=xに垂直
な平面による立体の切り口の面積を考える。
OH=t として,このときの切り口の面積をS(t)
とすると,立体の体積はS(f)をtで積分して求
められる。
txで表して,xの積分にして計算する。
xx=x とすると
y=x2-x|y=x
π
→
よっき
d
(2)
do
y↑
x=0,2
+a nieb
よって A (22)
526
A
また OA=2√2
2√2 H
(0
0≦x≦2とし、放物線500
h
P
P
(2) よっ
上の点P(x, x2-x)
.0
1
2
x
(3)
|から直線 y=xに垂線
0
-do
PHを下ろし, PH=h, OH=t とおく。
Hを通り, 直線 y=xに垂直な平面による立体の
切り口の面積をS(t) とすると
小さい方V=
v=SS(t)dt=xSh²dt
10
0
0-1/
(3)
の
ここで
do
10
√2h=x-x2-x)
y=x
(x, x)
(2)
do
Cos²
11) 812
であるから
h=-
2x-x2
√2
またt=√2x-h
√2x H
√2h
ZPRO
h
P(x,x2-x)
よっ
x=
a
do
11
x²
20
=
√2
t
0→>>
2√2
まか
4402320
よって dt=√2 xdx
x
←0
2
の
したがって
F2020 *ck
V=π
V=
2 (2x-x2)2
.0
√2xdx
0
2
√2
1x2
√2
-1
2
2
8√2
15
2
f(x-4x+4x)dx+2/28-
-π
0
x6
4
6 5
+5
+x4
-=
よ

Answer 1

✨ Best Answer ✨

Tsuduren

回転体の体積の公式をそのまま使いたい場合は回転軸に合わせて、半径と微小距離を取る必要があります
そのため模範解答では点Qの方から求めていく形式をとっています
変数変換を使えばtについての積分にすることもできます
分からない部分があれば聞いてもらえれば対応します