Question

月

数Ⅲの微分法の問題です。左写真の(3)の問題で、右写真の赤線部のa‹n›-αがどこからでてきて、そのあとにどんな計算をしていたのかがよくわからないので、教えてほしいです。

wwwww
練習
1.3
求めよ。
328
の中の
f(x) = 1
e+1
とする.
Antlia
(ポンプ座)
Antt
*列
にのをまだ
2
は性
(1) f(x) の増減を調べ, 曲線y=f(x) の概形をかけ.
(2) f'(x)のとり得る値の範囲を求めよ.
(3)曲線y=f(x) 直線 y=xはただ1点のみで交わる。この交点のx座標を
とする.
an+1=f(an) (n=1, 2, 3, ...)
で定められた数列{a} について,
(i) 平均値の定理を用いて,
6
5.
||an+1-a|≤an-a (n=1, 2, 3, ...)
基本的
が成り立つことを示せ.
(1) 数列{an)は,初項 α」の値によらずαに収束することを示せ.
では
平均値
文字を

ゆえに
log b-log a<
a<(ba).
①-②より,
an+1-α=f(an)-f(α).
...③
1.3
一方, f(x) は連続かつ微分可能なので, uuの
とき平均値の定理より,
(1) f(x)=-
< 0 であるので, f (x) は単調減
f(u)-f(v) -=f'(c).
(ex+1)
u-v
少、 また、
を満たすがuとの間に存在する. ここで(2) より
lime=0より
limf(x)=1.
lime=+∞ より limf(x)=0.
+
<lf(c)であるから,
|f(u) = f(v)| =\f'(c)|≤
以上より、y=f(x) のグラフの概形は次のようにな
u-v
両辺に uv (0) を掛けて,
る。
(2) f(x)-(+)--e"(e*+1)** £9.
-=-ex(ex+1)-2より,
f(x)=-{e*(ex+1)^2+e^(-2)(e*+1)•e*}
ex
(ex+1)
-{-(ex+1)+2e*}
_e*(ex-1)
(ex+1)3
であるから, f'(x) の増減は次のようになる.
(*)-(0)-
(これはu=vのときも成立).
③ ④より,
|an+1-a|=|f(an)-f(a)|≤anal.
(ii) (i) で示した式を繰り返し用いて,
oslan-
n-1
|n-1
...④
lim (1) la-al=0 なので, はさみうちの原理
より
lima-α|=0 すなわち liman=α.
12-00
71-00
(参考)
(0)
a1
x
(-8)
f" (x)
0
0
(+8)
+
f'(x) (0)
✓
14
K
4
-0
limf'(x)=
-=0.
limf'(x) = lim
(0+1)2
-e-x
-0
=0.
x+∞ (1+e-x)2
(1+0)2
よって、f'(x)のとり得る値の範囲は,
(3) an+1= f(an).
-≤f'(x) <0.
(i) αはf(x)=x を満たすから
a = f(a).
...②
1:y=x
FQ1
P3
Q2
[P2C:y=f(x)
a3a
a2
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数ⅲ 微分法 数学

Answer 1

✨ Best Answer ✨

🍇こつぶ🐡

赤線の上の式より、a‹n›-αは公比1/4の等比数列とわかる。

その後、赤線の式の右辺が0に収束するから、はさみうちにより、lim[n➡️∞]an＝αを求めている🙇

月

回答ありがとうございます。理解できました。

Answer 2

あきゃい

矢印に沿って見ていってみてください

月

回答ありがとうございます。理解できました。すみませんが、今回はもう一人の方をベストアンサーにさせていただきます。