Question

り

①ここってどのようにして求めればいいのでしょうか

②ここで言ってることって図で表すと二次関数のX軸と交わるのが1/2、(3a-1)/2ということですか

[2] αを実数の定数とし、関数
f(x)=
について考える。
4
以下, ①の条件のもとで考える。
ナ la-
ハ a- ヒ
f(x) の極小値は
と表され, 0≦x≦2
48
AA
における f(x) の最大値がf(2) となるようなαの値の範囲は
(1)=1
ツ であるから,f'(x)は
テ
ナ a-
f'(x)=x
x-
ト
ト
である。
テ
と表すことができ, f(x) がx=
で極大値をとるようなαの値の範囲は
ト
である。
ネ
a
ヌ
ヌ
解答群
① <
②
> ④≧
(数学Ⅱ 数学 B 数学C第3問は次ページに続く。)
フ
① かつ
<
フ
また, ① かつα<
であるとき,0≦x≦2 における f(x) の最小値は
へ
ホ
である。
ホ
の解答群
f(0)
①f(2)
テ
ナ
a-
2 f
③f
ト
ト
(第2回7)
(第2回8)

下さい
〔2〕 f'(x)=x230
4
Hi (3-1)-(3-1) (3a-4)>0 F
である。
よって, 0≦x≦2 における f(x) の最小値は (0) () である。
F
最小値の候補は, 極小値か, 定義
城のx=0におけるf(x) の値で
ある(定義域の端x2では最大)。
f(0) = 0 であるから, 極小値の符
号を調べるとよい。
したがって、f'(x) は x 1/12 を因数にもち
C
f(x)=(x-2)(x-3)
3a-1
C
因数定理
と表すことができる
f(x)がx=1212 で極大値をとるための条件は,f(x)の符号がx=
=1/2の前
にもつ
= 0
⇔P(k)
これより、f'(x) は
多項式P(x) 1次式x-kを因数
【参考】
を求める部分について
極大値, 極小値をもつ3次関数が, x=αで極大,
後で正から負に変化することである。
f'(x)=(x-2)(x-a)
x=βで極小 (α <β) となるとき、 右図の点
すなわち, f (x) = 0 が異なる2つの実数解をもち、その小さい方が
12/23 となることである。回
よって, 求める条件は
数項を比較して
の形に表すことができ、f'(x)の定
Pのx座標をとすると
a+B
2
8-a-B-a+B=p-B
3a-1
4
a=3 より a=
3a-1
となる。 この性質を利用すると
と考えるとよい。
x
3a-1
a
> () ----
以下、①の条件のもとで考えると,f(x)の増減表は次のようになる。
3a-1
...
2
2
f'(x)
+
0
-
0
+
>
p = B+B-a
D
y=f(x) のグラフは下に凸の放物
線であるから、f'(x)の符号が正か
ら負に変わるのは,y=f(x) のク
ラフとx軸の2つの交点のうち、
の方である。
と求めることができる。
では,f(x)=.
=(1/2)を満たすx(x+1/2)の値を
y=f(x)
3a-1+(3-1)-9a-4
と求めてからas
1s / が得られる。
f(x) > 極大 V 極小
極小値は
(301)-(3-1)·(30-1)²+ 3a-1, 3-1
4
3a-1
2
(31)(2 (3-1)-3-
(3a-
12
-1)-3-3a+6)
(31)(-3a+4)
(3a-1)2(3a-4) ......2
48
ここで
3a-1
2
112)=1/12(12)-12/10(12)+30-1.2-9a-4
S(2)=123.23-24.22+3a-1.2=9c+13
4
6
48
0≦x≦2 における f(x) の最大値が f (2) となるための条件は
(2)f(2) E
9a-4
-9a+13
すなわち
【Point
48
6
よってas
また, f(0) 0 であり,
かつであるとき、②より
E
最大値は, 極大値か、 定義域の端に
おける f(x) の値である。 極大値を
とるときのxの値x=
x=1/2が
0≦x≦2の範囲に含まれるから、
最大値は
極大値 (2) または (2)
である。
(第2回8)
x=a+B
x=B
以上のように, 3次関数の極大値, 極小値と同じ値をとる点のx座標は,
この性質を利用して確認することができる。
Point
定義域 asxsb における関数の最大値、最小値を考えるときは, こ
の定義域における極値と定義域の端における関数の値を比べる。
最大値: 極大値と定義域の端における関数の値のうち最大の値
最小値: 極小値と定義域の端における関数の値のうち最小の値
特に、この問題では触れていないが, 極値をとらない (単調に増加ま
たは減少する)場合もあるので注意しておく。
また、関数の値を比較するだけでなく, 【参考】で述べたように, 極値
と同じ値をとるx を求めて, それが定義域に含まれるかどうかを調べ
る方法もあるので押さえておこう。
(第2回9)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

希

①は、解説の右にある"C因数定理"というところにあるようなやり方でも求めることはできます。もしくは写真のように割ることでも求められます。

②では、2枚目の写真のように、左の交点が1/2, 右の交点が(3a-1)/2ということで合っています。
逆にしてしまうと、1/2のとき極小になっていまうということです。