Question

くおく

解答の下の方の波線してあるところってこの手の問題のみで成り立つやつですか？それとも一般にこのように言えるのですか？

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【12分】
太郎さんと花子さんのクラスでは,数学の授業で先生から次の問題が宿題として出
された。
(2) 連立方程式 (*) がx=” を満たす解をもつのは,α= スセのときであり,この
とき解は
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§1 数と式
12/2
数と式
問題 α を実数とする。 連立方程式
(x²+xy+y² = 7a-7
xxy+y=a+11
の解を求めよ。
(1)この問題について, 太郎さんと花子さんは次のような話をしている。
x=y=±ソタ
である。
また,a=4のとき, 0<x<y を満たす解は
..(*)
x=√
チ
チ
41=1
+
である。
太郎: 連立方程式といえば, 一文字消去が基本だけど,この式ではどうやって
消去したらいいかわからないし, 他の方法を考えないといけないね。
花子: そういうときは式の特徴を生かせばいいよ。
太郎: 二つの式はどちらもryxyの式だから,r'+yとryの値がαで表
せるね。
花子: そうすれば, (x+y) と (x-y) の値が求まるから, x+y と x-yの値を
求めることができるね。
太郎: なんとか解けそうだね。
2+y"とzyの値をαで表すと
るから
x²+y²=7
lat
イ
xy=
ウ
a-
I
(rty)=オカ α- キク
Po
(ry)=ケコα+ サシ
(次ページに続く。)
(3) 太郎さんと花子さんは,さらに次のような話をしている。
太郎: 連立方程式 (*)はいつでも実数解をもつわけじゃないみたいだね。
花子:そうだね。
太郎 どんなときに実数解をもつか, 調べてみよう。
連立方程式(*) が実数解をもつようなαの値の範囲は
テ
Sas+=
ト
である。さらに, 0<x≦y を満たす解をもつようなαの値の範囲は
ヌ <as ネノ
である。

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(1)
x'+xy+y=7a-7
xxy+y=a+11
とおくと, (①+②)×1/23より
x+y=4a+2
(0-2)×+
xy=3a-9
③④×2
(x+y)2=10a-16
③④×2より
(x-y)2=-2a+20
(2) x=yのとき,⑥より
⑤より
-2a+20=0 .. a=10
(2.x)2=84
x2=21
よって x=y=±√21
a=4 のとき, ⑤,⑥より
(x+y)²=24, (x-y)=12
0<x<yのときx+y>0, x-y<0 であるから
x+y=√24=2√6,x-y=-√12=2√3
よって=√6-√3,y=√6+√3
(3)x,yともに実数となるのは
(x+y)²=0 + (xy)²≥0
2017
のときであるから,⑤,⑥より
10α-16≧0 かつ -2α+20≧0
8
ゆえに
Sa≤10

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

実数rは、r²≧0を満たします

x,yが実数のとき、
たとえばx²≧0、y²≧0となるaの条件
を考えてもいいわけですが、難しそうです

x,yが実数 ⇔ x+y, x-yが実数
なので、(x+y)²≧0、(x-y)²≧0となるaの条件を
考えてもいいですね
x+y, x-yを持ち出したのは、
オ〜シでこれらがaで表せているからです

その意味で、一般に成り立ちますが、
暗記事項、とは異なるものだと思います

くおく

ありがとうございます！問題全体を俯瞰して条件考えます！