Question

Losto

この130の問題の特に(2)とかはそうなのですが、nを用いて一般化する問題で、こういう図形の問題を考える時めちゃくちゃ考えずらくないですか？nを用いられてるので図形を書いて可視化するみたいなこともやりずらそうですし、そういう場合どういう考え方で問題に取り組めばいいですか？

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基本 例題 130 図形と漸化式 (1) ･･･領域の個数
8500000
平面上に、どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。 次の場合、
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2)n(n≧2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
指針▷ (1) n=3の場合について,図をかいて考えてみよう。
解答
n
[類 滋賀大]
n=3
1ℓ2
a2=4(図のD1~D4) であるが,ここで直線 l を引くと, ls は
l l と2点で交わり,この2つの交点で l3 は3個の線分また
は半直線に分けられ, 領域は3個(図のDs, De, D7) 増加する。
よって a=a2+3
DS
D₁
D3
D6
D₁
D2
D
|43=7
同様に番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。
n本の直線によって α 個の領域に分けられているとき,(n+1)本目の直線を引くと領
域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
(2)(n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる
から (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
(1) 本の直線で平面が αn 個の領域に分けられているとする。
(n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のη本の直線で
(n+1) 個の線分または半直線に分けられ, 領域は (n+1) 個
だけ増加する。 ゆえに an+1=an+n+1
よって
an+1-an=n+1
また a=2)s
数列{az} の階差数列の一般項はn+1であるから, n≧2の
人
(n+1) 番目の直線はn本
の直線のどれとも平行でな
いから,交点はn個。
基本例
ZXPY (=60
PX, PY お。
同様にして
(1)円O㎜の
(2)円Oの
指針 (1)円O
このとき
(2)等比数
CHART 線
解答
右の図のC
OnOn+
OnH=
LOO+1H=30
On On+1
よってrn+rn
ゆえに n+1=-
よって、数列{r
1
rn=
n-1
n2+n+2
とき
an=2+2(k+1)=
k=1
2
n-1
k=1
(+1)=+
これはn=1のときも成り立つ。
= 11 (n-1)n+n-1
(S+
S+2
D
ゆえに、求める領域の個数は
n²+n+2
2
(2)平行な直線のうちの1本をℓとすると, l を除く (n-1)
本は(1)の条件を満たすから,この(n-1) 本の直線で分けら
れる領域の個数は (1) から
an-1
S+S2+...... +
更に、直線 l を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の
直線と (n-2) 個の点で交わり (n-1) 個の領域が増える。
よって, 求める領域の個数は
(1)の結果を利用。
1 は (1) annの
an-i+(n-1)=(n-1)+(n-1)+2
2
+(n-1)=-
n²+n
2
代わりに n-1とおく。
直線 y=ax
軸に垂線 A
更に、点 Az
③ 130 では交わらない n個の円がある。 これらの円によって,平面は何個の部分に分け
平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり,また, 3つ以上の円は同一の点
練習
られるか。
けて、線分
nとする。
(1) In n
(

図形 漸化式 領域の個数