Question

虚無虚無ぷりん

(2)教えてください！！！

(2)xの2次不等式 6x2 (16α+7)x + (2a+1) (5a+2) <0
-
を満たす整数xが10個となるように, 正の整数αの値を定めると
a
=
□である。
(東京慈恵会医科

２次不等式

Answer 1

🍇こつぶ🐡

画像参照

Answer 2

ブドウくん

因数分解すると
(3x-(5a+2))(2x-(2a+1))
となるので
(3x-(5a+2))(2x-(2a+1))=0
を解くと
x=(5a+2)/3 と (2a+1)/2
になります。

(5a+2)/3 と (2a+1)/2 でどちらが大きいか分からない(aによる)ので、場合分けして考えます。

(5a+2)/3 ＜ (2a+1)/2　のとき
2(5a+2) ＜ 3(2a+1)　
10a+4 ＜ 6a+3
4a＜-1
a＜-1/4 となります。よって、aは正の整数になり得ないので (2a+1)/2 ＜ (5a+2)/3 となります。

つまり、(2a+1)/2 ＜x＜ (5a+2)/3を満たすxが10個となれば良いです。

(2a+1)/2は、a+1/2と変形でき、aは正の整数なので範囲内の最小の自然数はa+1であり、10個あるということは範囲内の最大の自然数はn+10です。
よって、 (5a+2)/3がa+10より大きくa+11以下ということになります。ただし、もとの不等式が(2a+1)/2 ＜x＜ (5a+2)/3で、(5a+2)/3を含まないので、(5a+2)/3がa+11を含んでも良いことに注意です。
つまり
a+10＜(5a+2)/3≦a+11
となるから
(3a+28)≦5a ＜(3a+31)
となるので
14＜a≦15.5
よってa=15です。