誤解を恐れずにいうと
接するのも交わるのも2つのグラフの交点です
交点を求めるのに2つのグラフの式の連立方程式を解きます。
その解でxが2個でたら2点で交わり、1個なら1点で交わり、解がなければ交わらないということです。
xが2個でるということは(x - 1 )(x - 2)=0 のようになってx = 1 , 2 とでます
xが1個でるということは(x - 1 )(x - 1)=0 のようになってx = 1 とでます
しかし、通常は(x - 1 )(x - 1)=0 は ( x - 1 )^2 = 0 と書きます。これが重解です
なので4次関数で2点で接するということは、直線との連立を考えたときに
(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)=0
のようにならないといけません。
もしかしたら
(x-1)(x-1)(x-1)(x-2)=0の場合もあるのでは?という疑問でしたら
x=2は重解ではないので、単純にx=2をx座標とする座標があるというだけで突き抜けます
この4次式の話以前に、2次式の場合で
x=αで接する ⇔ 重解x=α ⇔ (x-α)²が因数
という事実をどこかでやっているのではないかと思います
そのため、指針3のような話になります
曲線f(x)とg(x)がx=αで接するということは
f(α)=g(α)かつf'(α)=g'(α)ということでした
つまりf(α)-g(α)=0かつf'(α)-g'(α)=0です
因数定理より、f(x)-g(x)は(x-α)²を因数にもつことを意味します
理屈は同じです
2次式の場合が理屈から押さえているということなら
わかるはずなので、同様に考えてみてください
4次関数f(x)の曲線と直線g(x)がx=sで接するということは、
4次関数f(x)-g(x)が(x-s)²を因数にもつということです
4次式が(x-s)²P(x)=0の形になるということです
さらにx=tでも接するならP(x)が(x-t)²を因数にもち、
都合、4次式が(x-s)²(x-t)²=0の形になるということです
2次式の場合は理解できるとのことですが、
上で答えたような、それなりにきちんとした理解によれば、
話は4次の場合にもつながります
「接する」ことから「(x-α)²を因数にもつ」ことへの説明も
それなりにきちんとしたつもりです
どうか、そこのところを真摯に受け止めてもらえると助かります
わからなければ、それを聞いてもらいたいです
(x-α)²を因数にもつ、この理由が理解しにくいです
上で答えた、「曲線f(x)とg(x)がx=αで接する
⇔ f(α)=g(α)かつf'(α)=g'(α)
つまりf(α)-g(α)=0かつf'(α)-g'(α)=0
因数定理より、f(x)-g(x)は(x-α)²を因数にもつ」
の最後のところでしょうか？
条件の1つ目:f(α)-g(α)=0ということは、因数定理から
f(x)-g(x)がx-αを因数にもつということです
よってf(x)-g(x) = (x-α)P(x)……◎ と因数分解できます
ここで、本来数Ⅲですが数Ⅱでもよく取り上げられる
「積の微分」により、f(x)-g(x) = (x-α)P(x)をxで微分して
f'(x)-g'(x) = P(x)+(x-α)P'(x)……☆ です
もう一つの条件f'(α)-g'(α)=0より、☆にx=αを入れると
f'(α)-g'(α) = P(α) = 0
つまり、因数定理によりP(x)はx-αを因数にもつので
P(x)=(x-α)Q(x)と書けます
これを◎に代入してf(x)-g(x) = (x-α)²Q(x)です
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2次式の場合は、接線がグラフと1点で交わることから理解できますが、4次式では上手く理解できません。