Question

A

解説にx<0 、x>0で場合分けをして考える際、
x<0の時には、いきなりx<x²と書かれていますが、
x>0の時には、x→+0であるから0<x<1としてよい。
とあります。
なぜx>0の時に限って0<x<1としてよいのでしょうか？

あまりx→-0、x→+0の意味を理解しきれていないため、それについても詳しく教えていただけますと幸いです。

重要 例題 91 平均値の定理を利用した極限
00000
平均値の定理を利用して、 極限値 lim
COS x-COS x 2
x-x2
を求めよ。
x→0
・基本 89,90
D-6>ngoldgold>0-p $589, 90

f(x) =cosx とすると, f(x) はすべての実数xについて微
f'(x)=-sinx
解答 分可能であり
[1] x<0 のとき
(
x<x2であるから,区間[x, x2] において,平均値の定
理を用いると
x2-xsin
COS x2-COSX
-sin01, x<a<x2
を満たす 0 が存在する。
limx=0, limx2=0であるから
x-0
x-0
COS x2 - COS X
lim01=0
x-0
よって
lim
x-0
x2-x
lim (-sin 01)
x-0
=-sin0=0
[2] x>0 のとき, x→+0 であるから, 0<x<1として
い
このとき,x<xであるから, 区間 [x2, x] において,
平均値の定理を用いると
COS x-COS x2
x-x2
-sinO2, x2 <O2<x
を満たす 02 が存在する。
limx2=0, limx=0であるから
x+0
x +0
よって
lim
x+0
COS x-COS x2
x-x2
lim02=0
x +0
= lim(sinQ2)
x +0
=-sin0=0
COS x -COS x2
以上から
lim
x→0
xx2
=0(*)

平均値の定理 微分

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ととろ

xとx²の大小関係をみるのに
[1] x²≧0 なので x＜0 なら x＜x² はすぐに言える
[2] x＞0 の場合は x＜1 と x＞1 で xとx²の大小関係が変わるので場合分けが必要、だけど今考えているのは x→0 の極限なので xがうんと小さい時だけ考えれば良い、つまり x＜1 としちゃっても良い、すると x²＜x 、ということ

A

非常に分かりやすく説明していただき、ありがとうございます😭
x→-0、x→+0の違いがあまり理解できていないのですが、教えていただくことは可能でしょうか😭

ととろ

xを0に近づけるのに、
正の方向から 1.0, 0.1, 0.01, … → 0
とする(x→+0)のと
負の方向から -1.0, -0.1, -0.01, … → 0
とする(x→-0)のかの違いです
連続関数だとこの極限は一致しますが、不連続関数では別の値になることがあります
例えば [x] や tan(x+90°) などはx=0で不連続で、右極限(x→+0) と 左極限(x→-0) を分けて考える必要があります

A

めちゃくちゃ理解しました😭✨
本当にありがとうございます🙇‍♀️