Question

めめ

数3の微分についての質問です。(2)で、なぜdy/dxが接線の傾きになるのかがわかりません。

第4章 微分法の応用
重要例題
接線と法線
泉
泉
(1) y=
53 次の曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求めよ。
3x
x+2
(2 x2+3y2=6A(√3,-1)
A(1, 1)
(3) x=2(0-sine), y=2(1-cose) E
CIAは0=
π
(A6-12/7に対応する点)
ポイント 1 接線の傾き=微分係数
1+x
+1
ポイント② 法線……… 接線に垂直。 (d-pas++
mil

3
よって, 接線の方程式は
y−1=(x−1)
2
2
1
すなわち
y=x+
3 J
また,法線の方程式は
y-1=-3(x-1)
3
おた
の
すなわち
2
y-f(a)=ja
法線の方程式は
y-f(a)=-
1
f'(
(ただし,f'(a)=
←
・接線の傾き=
(2) x2+3y2=6の両辺をxについて微分すると
ゆえに, v≠0のとき
x=√3, y=-1のとき
よって, 接線の方程式は
x
dy=-39
dx
==
dy
=
√3
dx 3
--
3
y=- x+
loge-
5
-2 2
dy
2x+6y. dx =0
dx
(
I+ dg
0
√√√3
y-(-1)=-
3
から、求
=
=(x-3) すなわち y=- -x-2

20
-サクシード数学Ⅲ
また, 法線の方程式は
y-(-1)=-√3(x-√3)
すなわち y=-√3x+2
xb
dx
dy
(3)
=
=2(1 - cos 0),
=2sin 0
do
de
dy
2sin 0
sin
ゆえに
=
=
dx
2(1-cos 0)
1- cos
π
0=1のと
のとき
dy
dx
=1, x=2(1-1) = 7
2(-1)=7-2,
11--18--16
logi47
1 niet eoɔd-(mise
⑤ から
b
ogai
これを⑥に
xb
(a
ゆえに
a
y=2
求める接線の
③に代入して
よって, 接線の方程式は
-7)
y-2=1{x-(-2)}
すなわち
y=x-π+4
1200nial
また、法線の方程式は
y-2=-1・{x-(T-2)}
すなわち
y=-x+π
1
og y=
54 y=√x を微分すると
1
y'=
2√x
接点の座標を (a, √a) とすると, a≠0
であり,接線の方程式は
XDRS
y-√√a=1
2√a
1
すなわちy=
=x+
√a
2√a
2
これが点(-2,0)を通るから
va
-20
=(x-a)
a
x
1 niet ood-25
y:
vb
if(x)=2si
f
2曲線 y=f(
(b)xpにおける
また、x=th
(x)+(x) ② から C
C
y-f(a)=f(als
C
0≤t≤2 Ca
(0)
これらは①
学
重要

数学 数三 微分

Answer 1

ととろ

そういうものだと覚えてしまうのもありですが、、、

1️⃣y=f(x) でxをどこかのx=x₁に取ると
その時のyの値が y₁=f(x₁) と決まります
2️⃣そこから少し、Δxだけ離れたf(x)上の点x₂を考えます
その時のyをy₂とするとy₂=f(x₂)です
3️⃣x₁とx₂の間の傾き(平均の変化率)を考えます
傾き = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)で
4️⃣ x₂=x₁+Δx なので x₂-x₁=Δxです
ここでyも同じように y₂-y₁=Δy とおきます
すると傾きは (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = Δy/Δx となります
5️⃣ ここで Δx→0 の極限を考えます
x₂はx₁に限りなく近づき、同時にy₂もy₁に限りなく近づきます
6️⃣ 傾きを考えていた (x₁,y₁) (x₂,y₂) を結ぶ線分もまた、(x₁,y₁) での接線に近づきます
7️⃣ すなわち、
Δy/Δx[Δx→0] という平均の傾きは
dy/dx という接線の傾きになります