うーん、と幾何的にみると、簡単にわかるのですが、一般化してだと幾何的には納得し難いかと思うので、代数的に示します。
Z^6=1 -> Z^6-1=0 となり、明らかに1が満たすこと、そしてド・モアブルよりαも解になるということぐらいはすぐに分かると思います。
ではα^n (n=2,3,4,5) が Z^6-1=0 を満たすことを考えてあげましょう。
まず z=α^2 のとき z=α・α と見てあげます。そうすると、
(α^2)^6-1 = (α・α)^6-1 = (α^6・α^6)-1 と指数の分配法則からこのように変形できます。
すると、さきほど示した通り α^6=1 （α^6-1=0）を満たすため、(α^2)^6-1 = (α^6・α^6)-1 = (1・1)-1 = 0 となり、
z=α^2 は解として成り立つことがわかりました。
つぎに z=α^n の一般化した場合でも考えてみましょう。そうした場合に、さきほどと同じ手順で行くと、 z=α^n (nは0以上の整数である)は解として適することがわかります。
つまり、α^0=1, α^1, α^2, α^3, ... , α^100, α^100000 も解として成り立ちます。
And 因数定理により、解となるα^nを使って z^6-1 = (z-α^0)(z-α^1)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)...(z-α^n) のように因数の形に置き換えていくことができます。（※因数定理のルール上、カッコの中は z-解 になります）
ここで、ド・モアブルの定理からα^nの値は (n=0,1,2,3,4,5), (n=6,7,8,9,10,11), ... と、6個ずつ同じ並びの数値が規則的に現れます。位相が6個で一回転するためです。
さらに代数的なルールとして、元の式である z^6-1 は「6次式」なので、1次式のカッコは絶対に6個までしか掛け合わせることができません（これ以上掛けると7次式、8次式になって左辺と矛盾してしまいます）。
そのため、値がループすることと次数の限界から、無限にあるように見えたパーツは最初の6個に絞られ、
z^6-1 = (z-α^0)(z-α^1)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5) だけで表すことができるのです。
