Question

みさ🐨

写真に写っている大問1の解説をお願いします！
チェバの定理、メネラウスの定理は習っていて方べきの定理はまだっていう状態です。
できるだけ早めにお願いします。

△ABCの辺 AB, AC上にそれぞれ点P, Q があり, PC, QB の交点を R, AR と PQ の交点を M とする。 4点 P,
B, C, Q は同一円周上にあり,AP:AQ=3:4,PB:QC=2:1であるとき,次の各問いに答えなさい。
(1) AP:PB を求めなさい。
(2) PM MQ を求めなさい。

比

Answer 1

きらうる

(1)
AP＝3x、AQ＝4x、PB＝2y、QC＝y　とおく
方べきの定理から、
AP×AB＝AQ×AC
→　3x×(3x+2y)＝4x×(4x+y)
両辺xで割って
→　9x+6y＝16x+4y
→　2y＝7x
→　y＝7/2x
AP：PB＝3x：2y
　＝3x：7x
　＝3：7

(2)
(1)と同様に、
AQ：QC＝4x：y
　＝4x：7/2x
　＝8：7

メネラウスの定理から、
(AP/PB)×(BR/RQ)×(QC/CA)＝1
→　(3/7)×(BR/RQ)×(7/15)＝1
→　BR/RQ＝5/1

同様に
(BR/RQ)×(QM/MP)×(PA/AB)＝1
→　(5/1)×(QM/MP)×(3/10)＝1
→　QM/MP＝2/3
よって、PM：MQ＝3：2