Question

りな

この問題が問題集の解説を見ても理解できませんでした💦解説お願いします🙇‍♀️

□ (3) 8a5b を満たす正の整数a, bの中で, 積ab が 100 の倍数となる最も小さな
αの値を求めなさい。

Answer 1

kgm

この問題でaとbはどのように表せるか分かりますか？

Answer 2

🍇こつぶ🐡

与えられた式 8a ＝ 5bにおいて、8 と 5 は互いに素（共通の約数を持たない）。したがって、 aは 5 の倍数、 bは 8 の倍数である必要がある。

正の整数 kを使って、a,bを表すと
a ＝ 5k、b ＝ 8k

積 abの条件を使って表す。
ab＝5k❌8k＝40k^2

これが 100 の倍数になるという条件から、
40k^2が 100 の倍数、つまり(両辺20で約分して)、
2k^2が 5 の倍数になる必要がある。

係数2は 5 の倍数ではないため、
k^2が 5 の倍数でなければならない。

5 は素数なので、 k^2が 5 の倍数ならば、k自体も 5 の倍数。

よって、最も小さな正の整数 aを求めるため、 kも最小の 5 の倍数である k ＝ 5 となる。

この値をa＝5kに代入すると、一番小さなaは、
a＝5❌5＝25🙇