Question

A

この問題は画像のような解法と合同式の他にありますか？

'en³ (n+1)² - n° (n+1).
n
+2)}(ひは自然数)
2
は、どんなれのときでも整数であることを示せ。
与式を展開すると、
n² (n+1)² (3n* + bu³-45² 7+ 2) 785.
A=n(n+1)=(3+6m²-49-7m+2)とおく。
ママグ、mon(n+1)とおくと、
A=m²(3m²-7m+2)…①
mon(n+1)ば連続する2つの自然数なので、ひは
2の倍数である。よって、mは4の倍数となる。
また、(3m-8m+2)について3m²、4m、2はそれぞれ鍋
であるから、com-m+2)は2の倍数となる。
ゆえに、A・(4の倍数)×(2の倍数)×(この倍数)となり、
Aは8の倍数であることがわかる。②
次に、monn()が3の倍数であることを示す。
れを3で割った余りによ場合分けする。
[1]n=3hのとき
man (n+1)· 3k (3k+1)
より、mは3の倍数。
[2]n=3-1のとき
mon (n+1) = (³k-1).3k
より、mは3の倍数

[3]n.3k-2のとき
Man (n+1) = (3k-2) (3/2-1)
m=n(n+1)
9-9h+2
となり、3m²-4m+2に代入すると、
3 (m²-12k² +12k-2)
ーにだけに右-2は整数であるから、3mm+2は3の倍数
したがって、①、②、[1]~[3]よりAはその倍数かつ3の倍数である。
8と3は互いに素であるから、Aは24の倍数
d. 7. n = (In+1)² + { ³° (n+1)² - n° (n+1)+n'} </A
どんな自然数nのときでも整数である。

整数