Question

たろう

基本例題の[2]についてです。ここの条件ですが、
a/3<=1<=4a/3とありますが4a/3も含めてしまっていいんですか？これだと最大値がf(a/3)だけでなくf(4a/3)もになってしまいませんか？

354
基本 ( 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小
00000
αを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax2+α'x0≦x≦1 における最大
[類 立命館大 ]
基本 219 重要 224
値M (α) を求めよ。
端での関数の値を比べて最大値を決定する。
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で, 極値と区間の
[2]
a
4
[ on a すなわち
3--3
sas3のとき,
a
f(x)はx=1/3で最大となり
M(a) = f()
[2] YA
[2] は区間に極大値をと
355
[最大]
るxの値を含み, 極大値
が最大値となる場合。
H
0
x
a
1 a
3
3 a
10%
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のよう
YA
になる原点を通る)。ここで、x=1/4以外にf(x)=(1/2)を
[3] 0</a<1 すなわち
[3]
最大!
満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。
O
0<a<212のとき、
a²-2a+1
よって、1/3a (1/3 <α) が区間0≦x≦1に含まれるかどうか
a
aax
3
で場合分けを行う。
f'(x)=3x²-4ax+α²=(3x-a)(x-a)
f(x) はx=1で最大となり
M(α)=f(1)
0<a<2,3<a のとき
M(a)=f(1)=α-2a+1
44as3のとき
20
10 a
a 41
3
[3] は区間に極大値をと
るxの値を含むが、 区間
の右端の方が極大値より
も大きな値をとり, 区間
の右端で最大となる場合。
f(1)=13-2a・12+Ვ1
6章
2 最大値・最小値、方程式・不等式
解答 f'(x)=0とすると
x=13, a
以上から
まずは,f'(x) =0を満た
すxの値を調べ, 増減表
をかく。
sas3 のとき M(a) - 12/10
4
=a2-2a+1
x
...
a
3
α>0であるから, f(x) の増減表は次のようになる。
f'(x) + 0 = 0 +
f(x) 極大 極小
<a>0 から
0<<a
3
a
...
>
3次関数の対称性の利用
ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-α) から
曲線 y=f(x) と直線
2
(3)=(-a)²=a³, f(a)=0
4
27
y=
点において接するから,
21は、x=1/3の
検討 p.344 の参考事項で紹介した性質, 3 を用いて,f(x)=1/27 満たすx=
の値を調べることもできる。
=1/3以外のx
x = 1/3以外にf(x) =
4
27
Eα を満たすxの値を求めると,
2つの極値をとる点を結ぶ線分の中点 (つまり 変曲点)の
y=f(x)
f(x)-
x座標は
-2a 24
x=-
=
ナ
f(x)から
で割り切れる。このこと
3.1 39
x2ax2+αx-
a³=0
を利用して因数分解する
とよい。
2
3
よって、で、off-faから
a=
a+
3
3
27
ゆえに (1/3)(x-2/341-0
1 -2a
a²
11/24)となる。
a
3
9
xキ
x= 1/32 であるから
4
a
x=
4
1
3 a
-a² 0 13
9
なお, p.344 で紹介した性質を用いる方法は,検算で使う程度
としておきたい。
うになる。
よって、f(x)の0≦x≦1における最大値 M (α) は,次のよ
0.0
[1] 1<1/3 すなわち 4>3のとき,
1-
3a
0
の方針。
f(x)はx=1で最大となり
M(a)=f(1)
a²-2a+1
・最大
(入
ことしないよ
=1/13/2/2ax-2ax+αの区間0≦x≦2 におけ
<指針」
[1] は区間に極値をとる
xの値を含まず 区間の
右端で最大となる場合。
DIAL
練習
223
は正の定数とする。 関数f(x)=-
る最小値 m (α) を求めよ。
p.368 EX 142

Answer 1

Yoshimarukun

そこは変数aの値による領域の動きを理解しようとするより、間に入っている1の動きとして見た方がわかりやすいです。

実際はaの値が決まれば3/aと4a/3の間の1が区間の両端からどの距離に位置するかが決まるのですが、複雑でイメージが湧きません。

その青っぽい領域の右端(つまり1の位置)がa/3からだんだん右に移動して4a/3のぎりぎり手前のところまでは最大値はf(a/3)と表せます。

1がちょうど4a/3と一致するとき、a=3/4であり、このとき区間の左端a/3は1/4となります。
実際に代入してみると
f(a/3)=f(1/4)=4/27･(3/4)^3=1/16
f(4a/3)=f(1)=1-2･3/4･1+(3/4)^2･1=(16-24+9)/16=1/16
(＊x=a/3の他にf(x)=4a^3/27をみたすxはx=4a/3と求めていますが、あえて初めの式に代入しています)

事実、a=3/4のとき、f(a/3)=f(1)=f(4a/3)=1/16となりました。

何も問題はありません。