✨ Best Answer ✨
出している(ⅰ),(ⅱ)の真理集合がまず間違えています。
あなたの場合分けは軸t=-a/2とt=2の位置関係の評価が抜け落ちています。
『a>-4かつ「a<-3-√6または-3+√6<a」』
または
『a≦-4かつ「a<-6または6<a」』
の和集合がaの条件です。
誘導のようにtに置換した関数をg(t)とするとき、問題は
「g(t)=0をみたす実数解がt≧2に存在しない条件」を求よ、となります。
判別式D<0すなわちa<-6または6<aであれば確かにそもそも実数解は持ちません。これは軸の位置によらないので結果うまくいっているように見えています。
つまり、軸に注目している人もそうでない人も同じ結果が出てきます。
一方で以下は軸に注目している人しか正しい範囲が導けません。
D≧0すなわち-6≦a≦6においてg(2)>0をみたせばよいとして
-6≦a≦6かつ「a<-3-√6またはa<-3+√6」すなわち
-6≦a<-3-√6または-3+√6<a≦6としているのでしょうが、
D≧0かつg(2)>0だとしても軸t=-a/2が2より大きい場合はt≧2に実数解を持ってしまいます。
それが許されるのは軸t=-a/2が2より小さいときだけ、つまりa>-4のときだけです。(本来さらに言えばこのときは判別式D≧0は不要でg(2)>0を共にみたしてさえいればよくなります。)
もしこの路線で行くなら、
実数全体のtのどこかに解が少なくとも1つはあるときD≧0かつ軸-a/2<2かつg(2)>0
として
-3+√6<a≦6導き、もう一方の範囲-6<aまたは6<aと合わせて
-6<aまたは-3+√6<aとする必要があります。
数学はいろいろ頑張って好きにしたらいいとは思いますが、知っておいた方がいいことはあります。
判別式はどちらかと論理・処理寄りです。使い方を誤ると、漏れに気づけません。
D<0は脳内のイメージと実際に吟味する要件が少ないため漏れが出にくい。
その一方、D≧0というのは実際危なくて、実数解が1個または2個あるという別の状況を圧縮してしまっているため単なる一つの不等式評価に見える上、その実、放物線がx軸に対してどの位置にあるのかはやってくれますが、横の位置の動きまではやってくれません。ここは私たちに丸投げしてきます。
つまり、楽させてくれそうに見えて頭を使わせてきます。
こいつは何でも屋ではないということです。
よって、現段階でおすすめは
①判別式と頂点のy座標の評価は密接に関わることを知る
②その上で、Dを多用するのを避け頂点のy座標による位置の評価によりイメージ化しやすい処理をすることでミスを減らす
③軸の評価は忘れない
①は解の公式を導出したことのある人なら大概知っていることなので、知らなかったらやってみてください。
あとは、②と③を基準に持てば漏れは減っていくかと思います。
本問のようなとき、t≧2において実数解を持つかどうかを考えなければなりません。
これに対し重要な要素は解が何個あるかどうかなどではなく、放物線g(t)がどんな場所に位置しているかどうかです。
よって、出発点は「g(t)の位置すなわち軸と境界t=2の位置関係」による吟味であるべきです。
実数解の個数に着目した判別式を場合分けの基準に据えいる段階で漏れに気づけていない感じです。
または、流石にないとは思いますがtに定義域があることをそもそも忘れていたかです。
また、「g(t)=0がt≧2の範囲に少なくとも一つ解をもつ条件」の余事象を求めてもいいです。
詳しく説明してくれてありがとうございます😭