そもそもの平方根の定義を思い出してください。こいつは、もともと［2乗したらnになる数をnの平方根］としていました。逆にいえば、 同じものが2つ(2乗)あれば、もとの自然数の形になるのでルートがついていてもとれるということです。これは√12=√(2×2×3)=2√3とするときに、2が√の中に2つあるので、自然数2となって、根号から出ていることからもわかります。
例えば、√(5n)だったら、n=5とすれば√(5×5)となるので、√の中で2乗してあることから、もとの自然数5に戻ります。√(5n)を自然数にするnのうち最小は5ですが、このつぎに小さいものはなにか考えてみます。ようは、同じ数が2つあれば自然数になれるわけです。だから、√(5×5×k×k)になればいいわけです。k=1ならば√5×5=5で、k=2ならば√(5×5×2×2)=5×2=10になるので、2番目になるような数字は、もともとあった5(√5nの5)を除いて5×2×2=20です。
この問題を考えます。
√75n/2=√(5×5×3n)/2です。
明らかに分子の根号の中に5が2つあるので、=5×(√3n/2)です。
√3n/2が自然数になるようなnを考えます。まず、√3nの中に3は1つなので3がもう1つ作ってやる必要があります。 ----- ①
そして、自然数になるためには、分数ではいけないので、平方根以前の問題として、分母を消すために分子に2が必要です。しかし、そのままnに2を放り込んでやっても、こいつは平方根の中にあるので、√2をつくったことになるので、2にするにはもうひとつ2が必要です。よって、分母を消すために必要なのは2×2です。 ----- ②
①②より、n=2×2×3=2^2×3です。
ちなみに、このときの√75n/2は、√75n/2
=5√3×(2×2×3)/2 ※)括弧内=n
=15です。
ちなみに2番目に大きいのはn=2^4×3=48ですね。
詳しく説明してくれてありがとうございます！