Question

访客

5次式f(x)＝x^5+px^4+qx^3rx^2+sx+t（p、q、r、s、tは実数）について考える。
（１）
数列f(0)、f(1)、f(2)、f(3)、f(4)が等差数列であることと、
f(x)＝x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+ℓx+ⅿ（ℓ、ⅿは実数）
とかけることは同値であることを示せ。
指針だけでもいいので。

数列発展

Answer 1

✨ Best Answer ✨

煮干し

f(x)＝x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+ℓx+ⅿにx＝0〜4代入
f(0)=m
f(1)=ℓ+m
f(2)=2ℓ+m
f(3)=3ℓ+m
f(4)=4ℓ+m
初項m交差ℓの等差数列

f(x)に関しては
f(x)＝x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+ℓx+ⅿ

f(0)＝m＝t

g(x)＝f(x)−(ℓx+m)とする。
g(0)＝f(0)−m＝t−m＝0
因数定理より
x−0＝xすなわち
g(x)はxを因数に持つ。

同様に
g(1)＝f(1)−(ℓ+m)＝0
g(2)＝f(2)−(2ℓ+m)＝0
g(3)＝f(3)−(3ℓ+m)＝0
g(4)＝f(4)−(4ℓ+m)＝0

以上より

g(x)＝x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)

g(x)＝f(x)−(ℓx+m)より
f(x)＝g(x)+(ℓ+m)
f(x)＝x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+ℓx+m

同値は示された…⁇

访客

ありがとうございます！