Question

うみぼうず

この問題の解き方を教えてください

Answer 1

✨ Best Answer ✨

gößt

分からなかったので調べてしまいました

まず、一般論としてA>0, B>0のとき、相加平均≧調和平均 より
(A+B)/2 ≧ 2/(1/A+1/B)
∴1/(A+B) ≦ (1/4)(1/A+1/B)
が言えます

これを利用します。まず、a,b,cのうちどれか２つが0のときは不等式は明らかに成り立ちます
以下、a,b,cのうち２つ以上は正とします。このとき
a+b>0, b+c>0, c+a>0
です
すると、
bc/(a+1)
=bc/(a+a+b+c)
=bc•1/{(a+b)+(c+a)}
≦(1/4)bc{1/(a+b)+1/(c+a)}
a,b,cを入れ替えて足し合わせると、
(左辺)≦(1/4){bc/(a+b)+bc/(c+a)+ca/(b+c)+ca/(a+b)+ab/(c+a)+ab/(b+c)}
=(1/4)(a+b+c)
=1/4

うみぼうず

とてもわかりやすかったです！ありがとうございます😊
ちなみにこれは高校の範囲ですか？

gößt

出典である2chの不等式スレを見に行ってみたのですが、マニアックな不等式のオンパレードでした…

証明で主として用いた(相加平均)≧(調和平均)の式
(A+B)/2 ≧ 2/(1/A+1/B)
は高校生でも証明可能なので、高校数学で説明できる、という意味では高校の範囲と言えなくもないかもしれません

ただ、調和平均は普通の高校では習わないですから、何かしらの方法で相加平均と調和平均の関係を知り、それの適用方法に慣れている人でないと現実的にはなかなか厳しいです

ちなみに、相加平均、相乗平均、調和平均の間には
(相加平均) ≧ (相乗平均) ≧ (調和平均)
の関係が成り立っています。高校で習う相加平均と相乗平均の関係の拡張のような感じになっているんですね

うみぼうず

そうですよね、調和平均を知らなかったので驚きました笑
丁寧な回答ありがとうございます😊