Question

ぬるこ

何度計算しても答えに辿り着けません…教えて下さると嬉しいです

人0

5, gmュー8g2 (2三1 2 3。……) によって定められる数列 {9計 の一般項を求め

 

よ。  = 407

漸化式 数列

Answer 1

✨ Best Answer ✨

鹿

anのべき乗は対数を取ると解けます
係数が8=2³なので、底を2にすると解きやすくなります

両辺の底2の対数をとると
log₂a[n+1] = log₂8(a[n])² = 2log₂a[n] + 3
log₂a[n] = b[n] とすると b[n+1] = 2b[n] + 3
変形して b[n+1] +3 = 2(b[n] +3)
数列{b[n]+3}は初項log₂5+3=log₂40、公比2より
b[n]+3 = (log₂40)2ⁿ⁻¹ ↔︎ b[n] = log₂a[n] =(log₂40)2ⁿ⁻¹ -3
よって
a[n] = 2^{(log₂40)2ⁿ⁻¹ -3}=1/8•40^2ⁿ⁻¹

ぬるこ

ありがとうございました！とても分かりやすかったです

Answer 2

ゆっけ

a[n+1]=8a[n]^2
loga[n+1]=log8+2loga[n]

loga[n]=b[n]とおくと　　——＊
b[n+1]=2b[n]+log8
変形すると
b[n+1]+log8=2(b[n]+log8)
なので
b[n]+log8=(b[1]+log8)・2^(n-1)
＊より
b[1]=loga[1]=log5
を用いて
b[n]=(log5+log8)・2^(n-1)-log8

＊より
a[n]
=e^{(log5+log8)・2^(n-1)-log8}
=e^{(log5+log8)・2^(n-1)}・e^(-log8)
=e^[log40^{2^(n-1)}]・e^log(1/8)
=1/8・40^{2^(n-1)}

注
e^logA=A

ぬるこ

ありがとうございました！丁寧で分かりやすかったです