Question

ジャスタウェイ

∣𝒓∣＜𝟏のとき、𝒍𝒊𝒎(𝒏→∞) 𝒏𝒓ⁿ＝𝟎
になるのは何故ですか？

Answer 1

✨ Best Answer ✨

理系の人

ちゃんと証明しようとすると難しいのですが、
感覚的には「指数関数の方が多項式よりも強いから」です。

nが大きくなったとき、r^nによる影響の方がnによる影響よりも大きくなるのです。

ちなみに、高校で習う関数の「強さ」は
対数関数 << xの多項式 << 指数関数 << 階乗
となります。

もし詳しく知りたければ、こちらのサイトを参考にしてみてください。
https://mathtrain.jp/bakuhatsu
(高校数学の美しい物語 さん。 書籍化もしてます)

ジャスタウェイ

𝒏→∞のとき𝒏よりも𝒓ⁿの方が及ぼす影響が大きいから不定形の形でも𝟎に収束すると言えるのですね！

ジャスタウェイ

ありがとうございました！

Answer 2

ゲスト

|r|<1の時、rは分母の数が分子の数より大きい分数で表されます
そのrをn乗していくと、分母の数がだんだん大きくなり、rが0に近づくからです！
わかりにくくてすみません🙇‍♀️

ジャスタウェイ

回答ありがとうございます。
それだと、
𝒍𝒊𝒎(𝒏→∞) 𝒏𝒓ⁿ＝∞×𝟎
(書き方がおかしいですが...)
となって不定形になるので悩んでました😅