教科書範囲での接線公式から求める場合
(x+1)²+(y-2)²=5より、中心(-1，2)だから、
点(2，3)と円をx軸方向に1、y軸方向に-2平行移動すると点(3、1)、円x²+y²=5になります。
点(3、1)から円x²+y²=5に引いた接線との接点を(p、q)とすると、
接線の方程式はpx+qy=5であり、これが(3、1)を通るから、3p+q=5
(p、q)は円上の点だから、p²+q²=5
これらを解いて(p、q)=(1、2)(2、-1)
よって接線の方程式はx+2y=5または2x-y=5
これらをx軸方向に-1、y軸方向に2平行移動したのが求める接線の方程式であるから、
(x+1)+2(y-2)=5、2(x+1)-(y-2)=5
一応接線の方程式の公式もあります。
(x-a)²+(y-b)²=r²の点(p、q)における接線の方程式は(p-a)(x-a)+(q-a)(y-a)=r²
これを使って、接点(p、q)通る点(2、3)で解いても良いです。