答えn=7ですか？
(3)で裏が2n+1枚だとわかっている前提で話します。
連続する整数の足し算は高校に入ったら公式としてやるのですが、今は最初と最後をくっつけると覚えてください。
例えば10+11+12+...+19+20は
下のように大きい順と小さい順に並べて縦に足しあわせます。
10 +11 +12 +13 +14 +15
+20 +19 +18 +17 +16
=30 +30 +30 +30 +30 +15
30×5+15=165
となります。
ここまでわかりますか？
わかります！
とりあえず(具体化)→(一般化)というのがわかりやすいと思うので、途中まで書き出してみます。
裏 表
1 1,2,3 (3枚)
2 4,5,6,7,8 (5枚)
3 9,10,11,12,13,14,15 (7枚)
4 16,17,18,19,20,21,22,23,24 (9枚)
5 25,26,27... (11枚)
ただ適当に書き出していても時間の無駄なので、そろそろ規則性を考えて、一般化すると下のようなことがいえます。
・裏がnのカードは(2n+1)枚 [(3)の答え]
・裏がnのカードのうち、表の数が最小となるのは(書き出したうちの一番左にある最初の数は)n²のとき
・裏がnのカードのうち、表の数が最大となるのは(書き出したうちの一番右にある最後の数は)次の段の最初より1つ少ないから(n+1)²-1のとき
これを再び視覚的に書けば
n n²,n²+1....(n+1)² -1 (2n+1)枚
n+1 (n+1)²......
となります。
問題文の「裏に書かれた数の和」というのは、裏1が3枚で和は3、2が5枚で和は10、3が5枚で和は15...nが(2n+1)枚あるから
n(2n+1) ....(i)
です。
問題文の「表に書かれた数の和」というのは、裏が1なら1+2+3,裏が2なら4+5+6+7+8のことなので、同じようにnならn²から(n+1)²-1までの(2n+1)個を足せばいいんですよね。ここで、昨日送った足し算のやり方が必要となります。
すなわち
1 1,2,3 =4×1+2
2 4,5,6,7,8 =12×2+6
3 9,10,11,12,13,14,15 =24×3+12
4 16,17,18,19,20,21,22,23,24
=40×4+20
同様に
n² + n²+1 + n²+2...
(n+1)²-1 + (n+1)²-2 + (n+1)²-3
_______________________________
(2n²+2n) + (2n²+2n) +...
より求める和は
(2n²+2n)×n+(n²+n) ...(ii)
(i)(ii)より
表の和はn(2n+1)
裏の和は
(2n²+2n)×n+(n²+n)
これだと汚いのでもっと整理して
=n(2n²+2n)+(n²+n)
=2n(n²+n)+(n²+n)
=(2n+1)(n²+n)
=n(2n+1)(n+1)
です。
よってn(2n+1)(n+1)がn(2n+1)の8倍であることを数式にすると
n(2n+1)(n+1)=8n(2n+1)
これを解くには、左辺を展開した3次方程式を解くのは中学生には無理なので、両辺に共通してあるn(2n+1)を割ればいいんですが、これをいつでもしていいわけではないことは頭に入れておいてください。数学において0で割ることは殺人と同じく犯罪なので必ずn(2n+1)≠0である確認をしてください。表の数nは1以上なので0ではありません。2n+1もnが1以上なら正の値なので0にはなりません。したがってn(2n+1)で割れますね。答えだけならいいですが、解答の過程まで書くならこれを書いていないと、犯罪者に罰が下るように大幅に減点です。(高校数学では中学とは違い、証明でなくとも解答の過程まで書くのが普通です。)
割るときれいに消えてくれますね。
n+1=8
したがってn=7ですね。
答えが出たら確認するべきです。今回は数が大きいので別にやらなくてもいいですが、やってみると
49→7
50→7
51→7
52→7
...
62→7
63→7
______
840=105×8
ありがとうございます！
少し難しかったですが理解しました！
一応この答えの解説があるのでそちらをのせとくのですが、この解説の考え方ってブドウくんさんの考え方と同じなのでしょうか？
中学では習わないことを使って解く問題が入試に出るのか疑問に思ったからです
もしかしたら、入試レベルだったら出るのかもしれませんが、確認をお願いしたいです
お願いしますm(_ _)m
ちなみに僕はこの解説をあまり理解できていません…
なるほど...
僕が計算でガーッと計算した結果最終的にどうなったかというと
表の和がn(2n+1)
裏の和がn(2n+1)(n+1)
になりましたよね？
このことから表の和の(n+1)倍が裏の和になることがわかります。
これを解答では、1,2,3,4...の場合を具体的に計算することでこの規則性を見つけています。
つまり、「厳密に証明はできないけど、n=1から頑張って計算すればおそらく(n+1)倍になることわかるやろ？」ということです。
それを僕は計算により証明したに過ぎません。
厳密に解答過程まで記述せよと言われてこの模範解答を書いたら×です。なぜなら、それは予想にすぎないので例えばn=3までは(n+1)倍になるけどn=4のときにそうならない可能性だってあり得るからです。きちんとやるなら、僕がやったみたいに表の和と裏の和を一般的な式で表すべきです。
すなわち、送ってくださった写真の表の▲と●にあたる式を僕はきちんと計算して求めたということです。
Wi-Fiの関係で返信は帰ってからにさせていただきます
申し訳ないです…
なるほどー！
ブドウくんさんのおかげで無事理解できました！
本当にありがとうございます(≧▽≦)
そうです！
なぜそうなるのでしょうか？🤔