a+2√2＝0ならば、a＝0かつb＝0でないと仮定するのはダメなのですか？ 解説では、b≠0になってます。

例題106 背理法 (2) ことを用いてもよい。 α, b が有理数のとき、次の問いに答えよ、ただし√2が無理数である。 考え方 B44 (1)a+b2 = 0 ならば, a = 0 かつ 6=0 であることを背理法を用い て証明せよ. (2) α (2+√2)+b(1-√2)=5+4√2 を満たす α, b の値を求めよ. Focus a+b√2=0 より,√2= (1) √2が無理数であるという条件を利用できるよう, まず b≠0 と仮定する。 (2) (1) の結果を利用する. (1) 6=0 と仮定する. √2=-² /6 b ここで,a,b は有理数より も有理数となる が､このことは√2が無理数であることに矛盾する したがって, b=0 である. これをa+b√2=0 に代入して, よって, a,bが有理数のとき, a+b√2=0 ならば, a = 0 かつ 6=0 である. (2) α(2+√2)+b(1-√2)=5+4√2 2a+a√2+b-b√2-5-4√2=0 a=0 (2a+b-5)+(a-b-4)√2=0 US a b が有理数より, 2a+6-5, a-b-4 も有理数 となる. したがって, (1)より, よって, これを解いて, [2a+b=5=0 la-b-4=0 3 命題と証明 203 α=3. b=-1 **** tout "ATTT TEATALI この時点では「b=0」で あることしか導かれて いないので、ここから 「b=0」 を用いて 「a=0」 を導く. 第3章 √2について整理する. 2a+b-5, a-b-4 がともに有理数であ ることを必ず確認す る. 2824 〔1〕 Max M

数3 微分法 の問題です。 マーカーの部分が分かりません なぜx>1とする必要があるのは何故ですか？

264 基 本 例題 167 不等式の証明と極限 (1) x>0 のとき, x 10gx であることを示せ。 logx (2) (1) を利用して, lim X→∞ CHART OLUTION 不等式の証明と極限 はさみうちの原理を利用 (1) f(x)=左辺(右辺)とし, f(x) > 0 を示せばよい。 f(x) の増減表を作り, (最小値) > 0 を示す。 (2)(1) の不等式を利用して、 f'(x)= lim x-∞ √x 解答 (1) f(x)=√x-logx (x>0) とすると 1_√x-2 2x 1 2√x -=0 であるから INFORMATION 例題で証明した lim - = 0 を示せ。 x f'(x)=0 とすると √x =2 これを解いて x=4 x>0 におけるf(x) の増減表 は右のようになる。 x>0のときf(x)≧f(4)=2-log4=loge²-log4> 0 よって, x>0 の √x>logx (2)x→∞について考えるから,x>1 としてよい。 このとき (1) から 0<logx<√x 各辺をx(>0) で割って logx x X→∞ logx x 0 < x f'(x) f(x) logx XC を不等式ではさむ。 logx lim X→∞ x <. 0 1 √x -=0 T 4 0 極小 2-log 4 + > ...... INS *** (<(x)) 00000 ■2=210ge=loge² また, 2<e<3 である から 4<e²<9 |基本 165 はさみうちの原理 -=0 において, logx=t とおくと x=e であり, te' x→∞ のとき → ∞ であるから, lim- この2つの極限はよく使われるので覚えておくとよい。 次ページも参照。 x = 0 すなわち limax=0 も成り立つ。 PRACTICE･･・･ 167③ (1) 0<x<πのとき, 不等式 xCOSx < sinx が成り立つことを示せ

二次関数の問題についてです。 （問題は写真を見ていただきたいです）場合分けをしていて、今回は a<０のとき です。 黒が私の考えている過程なのですが、解答と合いません。赤が正しいです。 どこで間違えているのか、説明をお願いします。

40 ep. 158 問題 練習 71 関数 f(x)=ax²+2ax+b(1≦x≦3) の最大値が10, 最小値が−2となる とき,定数a,bの値を求めよ。 FD (iii) a<0 & J = = a (x + 1)² +a+h acoのとき (-1₁a + h) x=-1 上に凸 3 ①、②を解く x=1でMax f(x) = -a(1+√5 +a+h 10 = Bath. 1 x= 37 min f(x) - 3a + li p.158 問題71 a (3 + ² +a+hi -2= -15atch = 2 = 15a + h - 3a +h= 10 15a - l = 2 (20 =12 aid a=-1 141

写真の右上の極値が存在分母が0ならば分子も0はどうしてですか

6 第6章 微分法 例題179 解答 lim (2) lim- x 2 ax²+bx x-3 x-2a+1)x+α²+ @ を満たす定数ap (p<0)の値を求めよ. x-5x+6 Focus 極限より係数決定 =12を満たす定数a,b の値を求めよ. [考え方 一般に, lim- f(x)=b のとき, limf(x)=f(a) = 0 が成り立つ。 x→a x-a このように。 分母の極限値が0のとき, 分数式の極限値が存在 するならば分子の極限値は0 となることを利用する. 「これは極限値が存在するための必要条件なので、 十分条件の吟分母が0曲 mmmm 味も行うこと. ならば,分子も0 (1) x3 のとき,(分母)0 であり,極限値が存在する から, (分子) → 0 である. したがって、 lim(ax+bx)=a・3°+b・3=9a+36=0 x-3 より,b=-3a ‥.① ①より、与式の左辺は, ax²-3ax ax(x-3) x-3 x-3 したがって, 3a=12 より, a=4であり、 ①から, b=-12 よって 求める値は, (2) lim- x-2 lim- x-3 x²-(2a+1)x+a²+a OD =lim x 3 x 2 ==p (p<0) x2-5x+6 x2のとき (分母) 22-5・2+6=0 ) は、 であり,①より、 極限値が存在するので, (分子) → 0 したがって, lim{x-(2a+1)x+a²+ α}=0 lim x²-3x+2 x2-5x+6 =limax=3a x-5x+6 limx-5x+6=1 となり,p<0に反するから. a=2は不適 (ii) α=1のとき == a=4,b=-12.10発売 …....① =lim x2 つまり, 2-(2a+1)・2+α+a=0 より, a=2, 1 必要条件 (i) a=2 のとき (桜美林大) (x-1)(x-2) (x-2)(x-3)=lim- となり, ① が成り立つ. (i),(i)より, a=1, p=-1 極限値が存在 0 x-1 x2x-3 k (0) では、 0 極限値は存在しな 必要条件 -=- 分母, 分子を x-3 で約分する . (a) (2210 ** 十分条件の確認 =d (分母)0のとき, (分子) 0 であることは、 極限値が存在するための必要条件 よってただ1つに 十分条件の確認 必要十分条件

この問題で増減表を書く時に、αとβの値が分からないので数値を代入してf'(x)が－か+かどうか調べることができないのですがこの増減表の符号はどうやって決めているのでしょうか？ (出典:青チャート 数三 P308)

308 基本例題 182 最大値・最小値から関数の係数決定 (2) x-b x² +a a,bは定数で, a>0とする。 関数f(x)= であるとき, a, bの値を求めよ。 [弘前大〕 ●基本180,181 指針 増減表を作って, 最大値と最小値を求めたいところであるが,f'(x)=0 となるxの値が複 雑なため、 極値の計算が大変。 そこで、 ****** 複雑な計算はなるべく後で に従って,f'(x)=0 の解をα,Bとし 2次方程式の解と係数の関係を利用して, α+β, αB の形で極値を計算する。 また, 関数 f(x) の定義域は実数全体であるから、増減表から最大値・最小値を求めるとき は、p.306 の例題 180 同様,端の値として x±∞のときの極限を調べ,極値と比較。 解答 a>0 であるから,定義域は実数全体。 X-C2+1)x+αB=0 f'(x)=x2+a-(x-b)・2x (x²+a)² f'(x)=0 とすると x2-2bx-a=0 この判別式をDとすると 練習 x²-2bx-a a-b a² + a 関数f(x)= / (x²+a)² ① 4 ゆえに,f(x)はx=αで最小値f(α) x=βで最大値f(B) 1 2' x+a 条件から f(a)= したがって 2α-26=-o'-a, ② により, a b を消去すると 2a-(a+B)=-a²+aß, 整理すると 2+(1-β)α-β=0, よって (a-B)(a+1)=0, αキβであるから α=-1, β=3 ゆえに、②から 2=26, -3=-a すなわち a=3、b=1 の最大値が 13. L D=(−b)²-1• (-a)=b²+a + a>0であるから 62+α>0 ゆえに D>0 よって, 方程式 ① は異なる2つの実数解 α, β (a <β) をもち, 解と係数の関係(*) から α+β=26, aß=-a 970よりBOXくわから50 増減表は右のようになり lim f(x)=0, lim f(x)=0 00 X→∞ Ext f(B)= 0-00に ないないので をとる。 Max Min B²+a 6β-66=β2+α x 00000 最小値が ◄ ( ² ) = ² B-61があることが 6 わかる 6B-3(a+B)=B²-aß B'-(3+α)β+3a = 0 (B-a)(B-3)=0 f(0) = -a (9>0) Fy f(0) 50 B f'(x) 0 + 0 f(x) 極小 極大 > u'v-uv 02 0)について次のものを求めよ。 a ... (*) 解と係数の関係 2次方程式 ax²+bx+c=0の2つの 解を α, β とすると b a+B=-₁ aß= a a 基本 αを正 AB= ABC 指針> 解 IZAI 0<E 26 a C

（4）でなんで全部に1/6かけるのですか？

数学Ⅰ・数学A 第3問~第5問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい｡ 第3問 (選択問題) (配点20) 箱の中に6枚のカード 2① 0 が入っており、 次の 操作Sにより持ち点が変化するゲームを行う。 はじめの持ち点は0点とする。 S: 箱の中から1枚のカードを取り出し, 取り出したカードに書かれた数を 持ち点に加える。 取り出したカードは箱に戻さない。 (1) 操作Sを2回繰り返す。 1回目の操作で 2 2回目の操作で -2 を取り出す確率は 1回目の操作で -2, 2回目の操作で 2 を取り出す確率も 1回目の操作で 1,2回目の操作で 1回目の操作で -1 2回目の操作で 1 を取り出す確率も 2回の操作後,持ち点が0点である確率は 2, -2 逆 11-7 or逆 for を取り出す確率は -44- キ ク である。 断転載複製禁止 ア イウ ア イウ 著作権法が認める I I オカ オカ 3/30 であり、30 である。 (数学Ⅰ・数学A 第3問は次ページに続く。) であり, である。 (2) 操作Sを3回繰り返す。 1回目の操作で 2 2回目の操作で 1, 3回目の操作で - を取り出す確 率は (3) 操作Sを4回繰り返す。 1 23 w Y ケ コサ 95 である。 3回の操作後、 持ち点が0点である確率は 6 4回の操作後, 持ち点が0点である確率は (4) ゲームを行う前に1個のサイコロを2回振る。 2回の目の積を7で割った余りを とし、ゲームにおいて操作Sを回行うものとする。 Max 36 チ r=6 r = 6 となる確率は 123 ツ 456 72345 (6) 246135 3625 ×1526.3 531642 である。 6 ゲーム終了後の持ち点が0点でないとき が偶数である条件付き確率は テト| である。 ナニヌ 2 4 シ スセ NIC ソ ~45 タ である。 君ある。 数学Ⅰ・数学A 42 V-6 6 82 b

二次関数の問題ですM（a）とm（a）を求めなさいとあるのですが、実際の入試で解答のような表し方は許されるのでしょうか？

82次関数の最大・最小/定義域が動く場合 aは定数とする. 関数 y=-3x2+x+1 (a≦x≦a+2) について, 最大値をM (a), 最小値を m(a) とする. M (a), m (a) を求め, b=M (a), b=m(α) のグラフを ab平面上に (別々に)か (類 追手門学院大) Bitt ていて 関数の方が変化したが,

こういう答え方でも大丈夫ですか？

また 年式は = 1 x f Clog. legs I x=33 =) (20+) <log 27- love t) (de) = = (leg 2)² + 3 lol y 9 = - (lebo 2 - 3/² 2²² +2². 0 I 12 og 3 = 5 og 2 ≤ legs 9. 2 = - (0232 - 3²² 3²³² + + k. $. 3. K とすると -1 81 it このグラフは右のようになる :: def sy すなわす 1 2 2 313. OK = Max 7 = = 3√3 1 mir 27 3 すなわち 2== OK = Min. -4 12 + 29-0 10802≦2 ニー lag= log+= =

PS=x、Fの面積をTとすると 0<x≦40のとき T=ー(xー80)²＋6400 40<x<100のときT=ー5(xー72)²/4＋6080なんですけど、0<x<100においてTが最大になるのはx=80の時じゃないんですか？なぜx=72の時なんですか？

長方形 PQRS が,直角二等辺三角形OABの周および内部からなる領域に含 まれるのは (met160)(x+20) (x+160) 0<x≦ タチ のときである。 0<x≦ タチのとき T= ツ x x^2+160x タチ <x<100のとき T= テ であるから, 0<x<100においてTが最大となるのはx=4のときで ある｡ 56

最後のカッコで囲ったところについて質問です。 OA+OL=3r/2=AH だから、ALとAHが一致する→LはBCの中点だから、AB=ACという解釈であっていますか？ また、7行目で(ただし、AN,AM上の点は除く)とありますが、何故でしょうか？

第 8 章 図形の性質 100 3辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, Nと し,3辺の垂直二等分線の交点(つまり三角形ABCの外心) を 0とする. 三角形ABCの内部にあって、 PA≦PB, PA≦PC を満たす点Pの全体がつくる領域Gは,四角形 ANOM の周 および内部である (ただし, 辺AN. AM 上の点は除く). ところで, △OAN ≡△OBN, △OAM≡△OCM B 3 N. O A T M LH 'C であるから, △OBN + △OCM = △OAN + △OAM = (四角形 ANOM) したがって, △ABC=2×(四角形ANOM) + △OBC 条件より, △ABC=3× (四角形 ANOM) であるから, △OBC= (四角形ANOM), △ABC=3× △OBC したがって, A から BCに引いた垂線とBCの交点をHとすると, AH=30L ・① A=60° であるから, ∠BOC=120° であり, 三角形ABCの外接円の半径をrとする と, OL=12 S-ee AJ ①より, AH=- 20-1080 また, OA=r であるから, Aは半直線LO 上にあり,三角形ABC は AB=AC の 二等辺三角形となる これと A=60° であることから, 三角形ABCは正三角形である.