整数の性質 まず(3)の線で引いたところが分かりません。 右のヒントのところを見てもどうしてこの変形をしているのか分かりません

472 基本例題106 約数の個数と総和 (1) 360 の正の約数の個数と,正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ。 (2) 慶応大] (2) 12"の正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。 (3) 15個である自然数n を求めよ。 56の倍数で,正の約数の個数が 指針▷ 約数の個数, 総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。 自然数Nの素因数分解が N = pager...... となるとき 正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)...... E*** (1+p+p²+...+pª)(1+q+q²+···+q')(1+r+r² + ··· + pc )...... (1) 上の Nが2を素因数にもつとき,Nの正の約数のうち偶数であるものは 2°•q°•yc......(a≧1,b≧0,c≧0, …;g, r, … は奇数の素数) -1+ の部分がない。 『1 - p, q, r, 【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用 解答 (1) 360=2.32･5であるから,正の約数の個数は (3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24(個) また,正の約数のうち偶数であるものの総和は 「!」 と表され, その総和は (2+2²+…+2ª)(1+q+q²+···+q³)(1+r+r²+...+rº)... を利用し, nの方程式を作る。 (2) (3) 正の約数の個数15を積で表し, 指数となる a,b, の値を決めるとよい｡ 15 を積で表すと, 15･15･3であるから, nは15-11-1または p-13-1の形。 の形で表される。 468 基本事項 p14 または p q (p, g は異なる素数) ｶﾞqrの正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1) (p,g,r は素数) 15 (=15･15･3) であるから,nは の正の約数の個数は は素数。 (2+22+2)(1+3+32)(1+5)=14･13・6=1092 (2) 12"=(2･3)"=227.3” であるから, 12" の正の約数が28個 (ab)"=a"b", (a)"=d" であるための条件は (2n+1)(n+1)=28 のところを2m n とし 2n²+3n-27=0 ゆえに (n-3)(2n+9)=0 よって nは自然数であるから n=3 (3) 素数のうち、 偶数は2の みである｡ 積の法則を利用しても求め られる (p.309 参照)。 たら誤り。 15･1から 5.3 から <p=2, g=7 15-11-1 -13-1 は 56の倍数であり, 56=2.7であるから, nは²の形 14 の場合は起こらない。 で表される。したがって, 求める自然数nは n=24.72=784 EE a 1 N A 1

解答の丸してるゆえにの所なのですが、なんで＋1をするのですか。考え方を教えて頂きたいです。

基本 例題 1 倍数の個数 PAGE ELT 100 から 200 までの整数のうち,次の整数の個数を求めよ。 (1)5の倍数かつ8の倍数 (2)5の倍数または8の倍数 AUTOEL (3)5で割り切れるが8で割り切れない整数 (4)5と8の少なくとも一方で割り切れない整数 指針 解答 →n (A∩B) のタイプ。 (1)5の倍数かつ8の倍数 5と8の公倍数であるから, 最小公倍数 40の倍数の個数を求める。 (2)5の倍数または8の倍数→n (AUB) のタイプ。 個数定理の利用。 (3) (A∩B)=n(A)-n (A∩B) のタイプ。 「で割り切れる」=「●の倍数」 KOCHE (4)5と8の少なくとも一方で割り切れない数→n (AUB) のタイプ。 ド・モルガンの法則 ĀUB=A∩B が使える。 n(A∩B) は (1) で計算済み。 注意 (4) は (2) の補集合ではない。 (2) の AUBの補集合は AUB ANE である。 100 から 200 までの整数全体の集合をひとし, そのうち 5の倍数,8の倍数全体の集合をそれぞれA, B とすると A={5･20,5･21, '……… 540} 合 B={8・13, 8•14, ......, 8.25} ゆえに n(A)=40-20+1=21, n(B)=25-13+1=13. またはBはAを (1)5の倍数かつ8の倍数すなわち40の倍数全体の集合 はANBであり A∩B={403, 40･4,40･5} OND よって n(A∩B)=3 (2)5の倍数または8の倍数全体の集合は AUBであるか 5 n(AUB)=n(A)+n(B)-n(ANB) =21+13-3=31 (3)5で割り切れるが8で割り切れない (3) 整数全体の集合は ANB であるから n(ANB)=n(A)-n(ANB) =21-3=18 (4) 58の少なくとも一方で割り切れ (4) ない整数全体の集合は AUB である から n (AUB) =n(ANB) AUTO=n(U)-n(ANB) /P.333 基本項目 ・U A =(200-100+1)-3=98 A) 35 ANBL A∩B 0000 A)-(8)n+AUA)R ●個数定理 FLOOR CLOC B B @ AUB U, A,Bはどんな集合 であるかを記す。 は積を表す記号である。 100=8•12+4 SA 含むという。 5と8の最小公倍数は 40 100=40・2+20 AND は A から ANB を除いた部分。 -(U)n =(A). HORA ド・モルガンの法則 AUB=ANB 2)+(8)x+(A)=(308UA (Als

赤の並線部分はどうやって出てきたのでしょうか？？

PO DE [発展 *294. △ABCにおいて, 等式 cos2 A +cos2B+cos2C=1-2cos Acos Bcos C が成 り立つことを証明せよ。

極限の問題です。 ⑴が分かりません。なぜ範囲が「-π/4＜θ/2^(k+1)＜π/4」と言えるのでしょうか？

& 8 数列の極限 / 漸化式 x<0 とするとき, 次の条件によって定められる数列{an}がある. (n=1,2,3, ......) (3) n10 表せ. ak+1= 2"×sin a1 cos 0 an = COS が成り立つことを示せ. 2n が成り立つことを証明せよ. (3) bn=axax as ×・・ π 0 <. 4 2k+1 Cn+1=2"x2sin 2ntr =2" x sin lib=lim 0 2 an+1= 解答量 (1) 数学的帰納法で示す. n=1のとき成り立つ. n=kで成り立つとすると, 1/(1+(n)=1/(1+ T Cn=2"sin- 0 2n 半角の公式を連想する 本問は三角関数がらみである. そこで与えられた漸化式を三角関数の公式 と関連させて眺めよう. すると, cos 0 = 2 0 X cos X cos 2 0 2n 0 2n 1+an 2 22 0 0 Cm は一定で, C=C=2cos sin 2 2 1+cos であるから, cos ......Xan (n=1, 2, 3, ..... とおく.0=0のとき, limb を0を用いて n→∞0⁰ (新潟大・理,医,歯) 0 22 X cos -X cos 2 n-∞ sin (0/2") 0 X cos 0 2k 0 2k+1 = ->0 よって,n=k+1でも成り立つから,数学的帰納法により証明された. (2) 与式の左辺をcm とおくと, ədalə 0 (aimagenranspot.come on COS 2n+1 2n+1 2 X cos X cos =sin( 23 X...... X cos nail 1+cos 0 2 COS .. ayaz......an ... sin0=2"sin 0/2" sin sin 0 0 22 0 2n 2 0 2k+1 X cos = sin (n=1, 2, 3, ………….) 0 2n 0 2n ak+1=COS の公式を連想するのは難しくはないだろう. X・・・・・・ X cos Cn -bn 0 2k+1 0 2n 1 (1+cosa) = cos2mm 2 √ x2 = |X|に注意して√を外 す。 ← (2) も数学的帰納法で示すこと ができる. 0 2n+1 (2sinacosa=sin2a) ←2sin COS 0 2n 0 2n+1 Cn+1=2x5in274 =sin 0 2n "xsin ni xcus=xcus=-=+=+= 1 x ... x cos x cus int →0 (n→∞)

基礎問題精講数１Aのこの問題について質問です。下線部１の「最小公倍数が196だから、14a'b'=196」となる理由と、下線部２の「ここで、最小公倍数をｌ（エル）とおくとmn=5×l　」となる理由が分かりません。よろしければ誰か教えてくれませんか？

SEPT 第5章 整数の性質 86 最大公約数 最小公倍数 (1) 180 84 の最大公約数と最小公倍数を求めよ. (2)2つの正の整数a,b (a>b) があって, 最大公約数は 14 最 小公倍数は196 である. α, bを求めよ. (3) 2つの正の整数m,n(m>n) があって, 最大公約数は 5. ま たmn=300 である. m, n を求めよ.やろ食 精講 最大公約数 最小公倍数は小学校で習っているなじみのある数学用 語ですが、高校になったからといって意味が変わるということはあ りません。しかし、扱い方が少し高度になります。 (1) 小学校では,右のようなわり算を行って, 最大公約数は 2×2×3=12, 最小公倍数は2×2×3×15×7=1260 と答を求めましたが,ここでは, 素因数分解して, 最大公約数の意味 「2つの数に共通の約数の中で最大のもの」 に従って, 最小公倍数も 「2つの数に共通の倍数の中で最小のもの」 に従って考えます. (2),(3) 数が具体的に与えられていません. そこで, ポイントにかいてある公 式を利用します. ここが, 少し高度になっているところです. 解答 (1) 180=2²×3²×5, 84=2²×3×7 よって, 最大公約数は, 22×3=12 また, 最小公倍数は 2²×3²×5×7=1260 素因数 2 180 2コ 84 2コ 多い方 2コ 少ない方 2コ 3 2コ 1コ コ 1コ 5 1コ 0 コ 1コ 7 07 2)180 84 2) 90 42 3) 45 21 15 7 1コ 1コ→2×3® ×5® x 7® コ 0コ → 2®×3D ◆各素因数について指 数が最小のもの 各素因数について指 数が最大のもの 最小公倍数 最大公約数 (2) 最大公約数が 14 だから,a=14c', b=146' a'b'は互いに素で、α'>' をみたす正の整数) 8 このとき、最小公倍数が196 だから,14q'b'=196① ∴.a'b'=14 143 kot, (a', b')=(14, 1), (7, 2) (a,b)=(196,14), (98,28) (3) 最大公約数が5だから,m=5m'n=5n" m'n' は互いに素で, m'n' をみたす正の整数) ここで, 最小公倍数を!とおくと mn=51 が成りたつので160 : 60=5m'n' よって, m'n'=12 m'n' は互いに素だから (m', n')=(12, 1), (4, 3) tot, (m, n)=(60, 5), (20, 15) 注 1 「α, bが互いに素である」 とは, aとbが1以外の共通の約数を もたないことです。 注m'n') (6, 2) のとき, a=30, b=10 となり, 最大公約数は 5ではなく, 10 になってしまいます。 ポイント 演習問題 86 (6,2) は互いに素で ないので不適 2つの正の整数a,bの最大公約数がg, 最小公倍数が のとき ① a=a'g,b=b'g (α' と'は互いに素)と表せ , ②l=α'b'g, ab=gl が成りたつ (1) 12,3660の最大公約数と最小公倍数を求めよ. (2) 2つの正の整数a,b (a>b) があって, 最大公約数は12で最 小公倍数は144 である. α, bを求めよ。 (3) 2つの正の整数m,n (m>n) があって, 最大公約数は4で,積 は 160 である. m, n を求めよ。 第5章 PIC･COLLAGE

基礎ができてないので教えて欲しいです。 なんで2枚目の丸囲んでるところ、+2が出てくるんですか？

基礎問 186 103 絶対値のついた関数の積分 対数つける. ets bc (1) f(x)=fle-rldt (1<x<e)とするとき,次の問いに答えよ。 (1) f(x) を求めよ. (2) f(x) を最小にする の値を求めよ. 定積分する関数には、xとtの2文字が含まれています。このよう なとき、 「どちらの文字で積分するのか?｣ ということが第1のポイ ントですが,これは 「dt」 を見るとわかります. すなわち,これは tで積分しなさい」 といっているのです. だから,積分を実行するとはい なくなって、だけが残ることになります. 左辺が 「f(x)」 とかいてあるのは このためです. 第2のポイントは,積分の方法です。基本的には絶対値がついているので 「はずす」ことになりますが, 102 の精選に, 精講 ⅡI. グラフを利用する とあります。 今回はこれを利用します。すなわち, y = et と y=x のグラフ を利用しますが,問題は,y=x のグラフです.「原点を通り,傾き1の直線で しょ?」 と思った人は要注意です。 解答 (1) 1<x<e だから, 0≦t≦1 において ef=x をみたすt が存在し, そのときのtの 値は t=10gx (右図参照) ( :. \et-x|={ -(et-x) -{-le = et-x [agetc (of よって、 Clog.x Eleje] - [eff f(x) = -√ (e-x) dt+₁(e²-x) dt log.x to log k [e²-xt] log.x (0≤t≤log.x) (log x≤t≤1) + 10 Jlogx =-2(elogz-xlog) +1+e-x =2xlogx-3x+e+1 (elogs=xより) Ay y=et e 2C O |logx y=x

教えてください🙇‍♂️✨ こたえは③なんですが ④って何でダメなんですか？前の夫について話されることを気にしない〜みたいな感じで訳せませんか？

① 和らぐ ②② 以下の各文の( (2) 痛む (2) Far behind them ( に入れるのに最も適当なものを,それぞれ① ~ ④から1つ選べ。 (1) I don't think she would mind so much ( 1 to talk to be talked (2) ) about her ex-husband. talking ③3 ) the village they had abandoned. ( 3点×5) being talked

(4)の問題で、どうしてこの命題の否定が「全ての自然数xに対して、、、、≠0」になるのでしょうか。 「全て」だと命題に「ある~」があるはずですが、(4)の「ある」は「〜である」と断言しているという意味では無いのでしょうか？また順番は命題と逆になっていますがいいのでしょうか。

次の命題とその否定の真偽をそれぞれ調べよ。 (1) すべての実数xについて x (2) ある素数は偶数である。 (3) 任意の実数x,yに対して x²-4xy+4y²>0 (4) x2-3x-10=0 である自然数 x が存在する。 MAGERE ESP

基本の（2）でなぜD＞0の場合をかんがえないのですか？

148 aの値の [類 摂南大) 基本例題 95 2次方程式の解の存在範囲 (2) …..kとの大小 ①①①0 2次方程式x^2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たすとき,定数aの 範囲を求めよ。 (X-1a-V) +2m-la-13 (1) ともに2より大きい異なる2つの解をもつ。 (2) 2より大きい解と2より小さい解をもつ。 CHART 解答 OLUTION 2次方程式の解とんとの大小 グラフをイメージ･･･ D,軸と2との大小 (2) の符号に着目 基本例題 94 は解と 0 との大小関係を考えたが,ここでは0以外の数んとの大小 関係を考える。 しかし、 グラフ利用の基本方針は変わらない。 f(x)=x²-2(a-4)x+2a とすると, y=f(x)のグラフは下に凸の放物線。 (2) f(2) <0… (1) D> 0, (軸の位置) > 2, f(2)>0 を満たすようなaの値の範囲を求める。 1.D20 f(2) f(x)=x2-2(a-4)x+2a とすると, y=f(x) のグラフは下 に凸の放物線で, その軸は直線 x=α-4 である。 (1) 方程式f(x) = 0 がともに2より大きい異なる2つの解を もつ条件は, y=f(x) のグラフがx軸のx>2 の部分と, 異なる2点で交わることである。 よって, f(x)=0 の判別式 をDとすると,次のことが同時に成り立つ。 [1] D> 0 [2] (軸の位置) >2 [3] f(2)>0 [1] 21={-(a-42-1・2a=α-10a+16=(a−2)(a-8) D> 0 から (a−2)(a-8)>0 よって a<2,8<a [2] (軸の位置) >2から α-4>2 よってa>6 [3] f(2) > 0 から 20-2a>0 よって a <10 ...... ③ ①,②, ③ の共通範囲を求めて 8 <a < 10 (2) 方程式f(x)=0が2より大きい解と2より小さい解をも つための条件は,y=f(x)のグラフがx軸のx>2 の部分 f (2) <0 とx<2の部分で交わることであるから よって したがって a>10 ...... 20-2a<0 Domage2.8ca YA Fiow 8 Go 0 (1) 1より大きい2つの異なる解をもつためのαの値の範囲 (2) 1より小さい2つの異なる解をもつためのaの値の範囲 - [S] [K 2 2 Lay O 本 軸>2 3 6 基本例題 第2次方程式 るとき, 8 10 a 8㏄a Sof?10? 2 PRACTICE・・・ 95③ 2次方程式x²-2ax+a+7=0 について考える。 次のものを求めよ。 CHART 2% x ノ 解 0 ! グ f( フ f を 合 f(x)= y=f(_ 0<a< であ ここ で ①

この問題aを降べきの順にした時の解き方教えてくださいm(*_ _)m 答えは(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

X-² 4 =3y + 2 y+4 4-6) No. Date (2) a(h-c)³ + h (C-a) ³² + c (a-a)³ -{a(a-c)(²+h+c²)} + {h(c-a) (c² +ca+a²)}{c{a_eX(a²-x²) = (ah-ac) (h² the +(²) + (ac-ha)(C²+ca +α²³) + (ca-ch) (a²tah + a²) =ale+alt+gel²-ab²c-asc²-ac²c²-age+aªc-a-me-² 11 tea³ + cash +cal²-sha²-can-ca³ (-h+ Ca²+ (hc +ch-hc-cla² + (h²³ +²³℃ the ²-lich C²/C³² the² hc²+ Ch²-ch²) a + (lc ³ - Ch₁³) = (-h+c) a² + a² + (h³-C³) a thc (C²-l²)