漸化式 階差型 こちらの問題でいつも検討の方がスマートに思えて そっちしか覚えていないのですがやっぱり上も覚えた方がいいですかね、？ そりゃ共テ対策にも様々な解法があった方がいいのはわかるんですけど 下で解けない問題にまだ会ったことがなくて 上でしか解けない問題とか上の方... Read More

基本 例題 35 ani=pan+(nの1次式) 型の漸化式 63 00000 a=1, an+1=3a+4nによって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 基本 34 指針 p.60 基本例題 34の漸化式 α+1=pan+g で,g が定数ではなく, nの1次式となって いる。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。 ← 漸化式のn をn+1 とおき, α+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式 との差をとり、階差数列{an+1-a} についての漸化式を処理する。 また,検討のように、等比数列の形に変形する方法もある。 CHART 漸化式 an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用 1 章 4漸化式と数列 解答 an+1=3an+4n ...... ① とすると ② ② ①から an+2-an+1=3(an+1-an)+4 bn+1=36+4 an+2=3an+1+4(n+1) an+1-an=bn とおくと これを変形すると bn+1+2=3(b+2) また b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8 よって, 数列{bm+2}は初項8,公比3の等比数列で bn+2=8.3-1 すなわち b=83-1-2 (*) ①のnn+1 を代入す ると②になる。 差を作り, nを消去する。 <{bm}は{a}の階差数列。 <α=3a+4からα-2 <az=3a+4・1=7 n≧2のとき n-l an=a1+2(8.3k-1-2)=1+ k=1 8(3-1-1) 3-1 --2(n-1) ③ <n≧2のとき an=a+bk n-1 k=1 =4.3"-1-2n-1 n=1のとき 4・3°-2・1-1=1 =1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。 したがって an 4-3-1-2n-1 初項は特別扱い (*) を導いた後, an+1-an=8.3-1-2 に ① を代入して a を求めてもよい。 {{an=(an+β)} を等比数列とする解法 例題は an+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+β として, 検討 an+1=3an+4n が, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} A の形に変形できるようにα,β の値を定める。 Aから an+1_{α(n+1)+B}=3{an-(an+B)} ゆえに an+1=3an-2an+α-2B 練習 35 これとα+1=3a+4n の右辺の係数を比較して -2a-4, a-2B=0 よって α=-2,β=-1 ゆえに f(n)=-2n-1 Aより, 数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから an-(-2n-1)=4.3-1 したがって an=4.3"1-2n-1 a1=-2,an+1=-3a4n+3によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。

大問9と大問10大問12の解き方はそれぞれわかるんですけど、質問と問題を見た時にどの問題をどの解き方で解けばいいのかわかりません！ 今日テストなので急ぎで教えて欲しいです！お願いします！

us=4cm4+1 ST 340 U412 9 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 (1) a1=0, an+1=a,+5 (2) a1=2, an+1=-3an an= of (n-1) I da 5n-5 n An= 2.6-3 an2(-3)^ 12 次の条件によって定められる数列{a}の一般項を求め (1) a1=2,n+1=3a-2 漸化式を変形すると、C=30-2 -2c =-2 c=1 P=3 ba b1=1.30+ 10 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (1) a1=1, an+1=an+4" 条件より anti-an=47 数列それらの階差数列の一般項がヂであ am 3 (2) a1=1, an+1=g+2 このan=a,+45 初頭 n-t E= 414"-12 3+4411 49 まって 3 成り立つ。したがって、一舟 4-1 = 3 初項はa.=1なので h (2) a1=1, a,+1-a= -2n 2 数列{a}の階差数列の一般項が-2nであ N n-r - C= ½ C 漸化式を変形すると、 113 30-3 2 20 2C C P =

この問題シグマを使わずにやる方法で解けますか？

*(2) 12•n, 22.(n-1), 3.(n-2), *62 次の数列の一般項を求めよ。 また, 初項から第n項までの和を求めよ。 0, 4, 18, 48, 100, 180,294, ......

（1）の問題です。解説の解き方とは異なるのですが、私の解き方のどこがダメなのでしょうか？答えが全く合いません💦💦

*250 次の条件によって定められる数列{a} 1 1 4 +3 (1) a₁3 3' an+1 an (2) α1=1, an+1= 5an an+5

この問題の記述のかきかた教えて欲しいです。 数字が違ったときに書き換えるとこと毎回変わらないとこおしえてほしいです。

研究 図形と漸化式 Link イメージ 漸化式を利用して、 図形の問題について考えてみよう。 第1章 数列 解答 1 例 平面上にn本の直線があり、 どの2本も平行でなく,また,どの 3本も1点で交わらないとする。 これらn本の直線が, 平面を an 個の部分に分けるとき, annの式で表せ。 1本の直線で,平面は2つの部分に分けられるから a=2 n本の直線により, 平面が an個の部分に分けられているとき, 立 (n+1) 本目の直線lを引く。 lはn本の直線とn個の点で交 n=3のとき 10 わり, (n-1) 個の線分と2個の l 半直線に分けられる。 これらの線分と半直線は, それ 回 [I] が含まれる各平面の部分を2つに分けるから, 直線lを引くこと 21 で,平面の部分が (n+1) 個増加する。 よって 15 15 an+1=an+(n+1) すなわち an+1-an=n+1 数列 {an} の階差数列の一般項がn+1であるから, n≧2のとき san- n-1 ar an=a1+2 (k+1)=2+1/2(n-1)n+(n-1) =1 (1+税) よって an = = 1/1 (n²+n+2) 羽 2 初項は α = 2 なので,この式は n=1のときにも成り立つ。 したがって, 求める式は an = 1½ ½ (n³²+n+2)

n ≧2って言ってるのになんでn=1を考える必要があるんですか？

階差数列 処T 16 次の数列{a} の一般項を求めよ。 (1)4,5,8,13, 20, 29, 2

青線のところで、なんで一般項を求めるのにΣを使うんですか？

16 次の数列{an} の一般項を求めよ。 (1)4,5,8,13,20,29, までの和 の和SがSm²

(2)の式の意味がわかりません。特に、水色で引いた部分の意味が理解できないので、そこを中心に、答えを求めるまでの過程を教えてください。

B=-3+AQを αẞ=-1+at 2-40+1= -3+4a)=-1 2 a= nで表せ。 314 平面上に, どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。 次の問に答えよ。 (1) どの2本の直線も平行でないとき, 平面が基本の直線によって分けられる領域の個数 (2)n 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき, 平面が本の直線によって分けられ る領域の個数bnをnで表せ。 ただし, n≧2 とする。 (1) 1本の直線により平面は2つの領域に分けられるから,α1=2で ある。 n. 本の直線が引かれているところに, (n+1)本目の直線を引くと に引かれていたn n本の直線により (n+1)本目の直線は (n + 1) 個の 線分または半直線に分けられる。 (n+1) n その結果,それぞれが含まれる領域に1つずつ領域が増加するため, (n+1) 本目の直線はどの 領域は (n+1) 個増加する。 004 したがって an+1=an+n+1 とき よって, 数列{a} の階差数列の一般項がn+1であるから,n≧2の 1 1 直線とも平行でないから 交点が個できる。 領域に1本直線を引くと その領域は2個に分けら れ領域は1個増加する。 an+1-an=n+1 n-1 an=a1+(k+1)=2+1(n-1)n+(n-1) k=1 1 2 n+ n+1 2 n=1 を代入すると2となり, α と一致する。 って an = 1 1/12n+1/2n+1 (1)の条件を満たしながら (n-1)本の直線が引かれているところ そのうちの1本と平行なn本目の直線を引くことを考える。こ のとき問題の条件からη本目の直線は,先に引かれていた直線のうち の1本と平行になるから, n本目の直線は既に引かれていた (n-2) 本の直線により (n-1) 個の線分または半直線に分けられる。 その結果,それぞれが含まれる領域に1つずつ領域が増加するため、 領域は (n-1) 個増加する。 an= + n+1が 2 n=1のときも成り立つ か確認する。 したがって bn=an-1+(n-1) n-] よって 2 bm = 1/1(n-1)² + 1 (n- (n-1)+1+(n-1) = n² + n 本目の直線は先に引 れていた直線と交点 (-2) 個できる。 315円上の異なる3点 P, Ao, A, が A,PA,A を満たしている。このとき, 弧PAA, 上に A2 を AzP=A2A」 となるようにとる。 次に, 弧PA,A上に点 Ag を AgP AgA』 となる うにとる。以下、この操作を繰り返し、各自然数n(n≧2) について, 弧 PA-2A-1 上に とする A & A D

こういう問題はΣで求めることはできないんですか？ 階差数列との見分け方を教えてください

次の和Sを求めよ。 S=1・1+2・2+3.22+......+n.2n-1

これは階差数列を使ってますか？また、線を引く場所によって平面の数は変わりませんか？

研究 図形と漸化式 漸化式を利用して、図形の問題について考えてみよう。 例 1 解答 平面上に本の直線があり、どの2本も平行でなく、 また、どの 3本も1点で交わらないとする。これらn本の直線が, 平面を an 個の部分に分けるとき αをn の式で表せ。 1本の直線で、平面は2つの部分に分けられるから=2 n本の直線により, 平面が α 個の部分に分けられているとき an (n+1) 本目の直線lを引く。 lはn本の直線とn個の点で交 n=3のとき わり, (n-1) 個の線分と2個の 10 半直線に分けられる。 これらの線分と半直線は, それ 15 13 第1章 数列 が含まれる各平面の部分を2つに分けるから、 直線lを引くこと で、平面の部分が (n+1) 個増加する。 よって an+1=an+(n+1) すなわち anti-an=n+1 数列 {an} の階差数列の一般項がn+1であるから,n≧2のとき n-1 an=a+2(k+1)=2+1/2 (n-1)n+(n-1) k=1 よって an = 1½ (n²+n+2) 初項は α = 2 なので、この式は n=1のときにも成り立つ。 20 したがって, 求める式は = 1/1 (n² + n + 2) 練習 において 本の直線によって, 交点はいくつできるか