-
![]()
Think
10/12
例題 239 絶対値を含む関数と面積
(1)
mの値の範囲を求めよ.
[考え方 直線 L と曲線Cは原点を通り、 右の図のようになる。
(1) xx=mx (x≦0 1≦x) と-x'+x=mx (0≦x≦)
の異なる実数解の個数が3個となるmの値の範囲を
求める,または, 直線Lと曲線 C の異なる共有点の
個数が3個となるときの直線Lの傾きからの値の
範囲を調べる.
(2)公式 f (xa)(x-β)dx=-1/2 (B-α) を利用する。
C
LO
450 第7章 積分法
****
mを正の定数とする. 直線L:y=mx と曲線 C:y=xx の異な
る共有点の個数が3個のとき,次の問いに答えよ.
する
2 直線と曲線Cとで囲まれる部分の面積Sの最小値を求めよ。
y
1+m
x²-x (x≤0. 1≤x)
解答
(1)|x-x|=
miiii
-x²+x (0≤x≤1)
m
x=mx とおくと, x(x-1-m)=0より,
また,直線Lは原点を通る傾きm (m>0)の直線である。
\x2-x=\x(x-1)\
x=0, 1+m
>0より、この2つの解はx
1を満たす.
x=0, 1-m
xx=mx とおくと, x(x-1+m) = 0 より
x=1-m が0<x<1, つまり, 0<1-m<1 より,0<m<1 を満たせば、
直線Lと曲線Cの異なる共有点の個数は3個となる.
よって, 0<m<1
(別解) y=-x'+x において, y'=-2x+1 より,
x=0 のとき, y'=1 であるから, 放物線
y=-x+xの原点における接線の傾きは1
である.
y-8/m=1
C
O
ISL
m=01
となるときの直線Lの傾きの値の範囲は,
よって,右の図より,直線と曲線Cの異なる共有点の個数が3個
yA S1 S2
Foc
0<m<1
(2) 直線Lと曲線Cとで囲まれる部分のうち,
O 1-m
0≦x≦l-m の部分の面積をS, 1-m≦x≦1+mの
部分の面積をS2とし, 直線と曲線 y=xx とで
囲まれる部分の面積を S3, x軸と曲線 y=x-x とで
囲まれる部分の面積を S4 とすると, S2=Si+S3-2S4
1+m
ya
S3
1+m
したがって
S=Si+S2=2S+S3-2S4 ....①
www
直線Lと曲線Cの共有点のx座標は,
x=0, 1-m,1+m であるから,
Cl-m
Si= "{(x+x-mx)dx
=-fx(x-(1-m)}dx
((1-m)-01-(1-m)³
-8
1+m
練
123
**
