これの⑶ですが、解説みてもピンときません😭めっちゃ細かく解説お願いしたいです。 解説の部分の写真のように、かっこをはずすとそのようになるのはなぜですか、

x+ 1/2=3のとき、 -=3のとき、次の式の値を求めよ。 X 1 (1)x2+ x2 (2) X (3) 23 1 IC x3

微分法についてお聞きしたいのですが解説の説明（ロ）に一般的には接戦の本数は接点の個数と一致しないと書かれていたのですが何故でしょうか？教えて頂きたいです。

アプローチ (イ) 2曲線y=f(x),y=g(x)の共通接線の一般的な求め方は,y=f(x) 上の点 (t, f(t)) における接線と y = g(x) 上の点(s, g(s)) における接線が 一致するとして係数比較を行います。 あとはst の連立方程式を解くこと になります. (x)(0) (口) 一般的には (接線の本数) キ(接点の個数)で す. しかし本間の曲線なら両者は同じとしても OK です. なぜなら右のように2点以上で接する 直線は存在しないからです. (ハ)(2)の最後では 「右のグラフのように2本ぐら い接線は引けそうだ」 という感覚がないとやりに くいでしょう. この目標に向かって議論を進めて いきます。 S N C21 C1

(2)の無数にあるということは無限にあるということですか？aの値がどれだけ大きくなっても成り立つということですか？

総合 楕円 C:7x2+10y2=2800の有理点とは, C上の点でそのx座標, y座標がともに有理数である 24 ものをいう。 また, Cの整数点とは, C上の点でそのx座標, y 座標がともに整数であるものを いう。 整数点はもちろん有理点でもある。 点P (-200Q (200) はCの整数点である。 (1)実数αを傾きとする直線 la : y=a(x+20) とCの交点の座標を求めよ。 (2)(1) を用いて, Cの有理点は無数にあることを示せ。 (3) Cの整数点はP と Q のみであることを示せ。 実 [中央大] 本冊数学C 例題150 よって ゆえに (1) y=a(x+20) を 7x2+10y2=2800に代入して 7x2+10{a(x+20)}=2800 (10a2+7)x2+400a'x +4000a²-2800=0 (x+20){(10α²+7)x+200α²-140}=0 200a2-140 ←C と la の方程式を連 よって x=-20, 10a²+7 y=a(x+20) から, x=-20のとき y=0 200a2-140 280a x=- のとき y= ←y JZ e 立して解く。 ←楕円 C, 直線 la とも 点P(200) を通るか ら, x+20 を因数にもつ。 有理数 =実数のうち整数か分 かで表せる数の総称 10a2+7 10a²+7 したがって, 直線 l と楕円 C の交点の座標は =a = a(-2 200a2-140 +20 10a²+7 200a2-140 280a (-20, 0), 10g2+7 10a²+7 (2) α が有理数のとき, (1) で求めた交点 200a2-140 280a 10g²+7 10a²+7 の座標 はともに有理数であるから, 有理点 であり, 楕円 C 上および直線 l 上 にある。 > 10a²+7 (>0), 200α²-140,280αは有 27 有理数 理数で, は有 有理数 y la #. JA Pa Pbb (0) C るから 2/70 また,有理数 a, b が α≠6を満たす とき, 直線 la, l は異なるから,直 線 la, lo と楕円Cの点(-200) 以外の交点 Pa, P6 の座標は異なる。 したがって, 楕円 C の有理点は無数にある。 -20 120 0200) Qx P -2√70 ←la: y=a(x+20) は定 点 (-20, 0) を通ること と傾きαの変化を考え ると,図からわかる。 (3)7x2+10y2=2800 ① を満たす整数x, y を求める。 ①から 10y2=7(400-x2) 10と7は互いに素であるから,y2は7の倍数である。 よって,yも7の倍数である。 また, 7x2=10(280-y2) ≧0から 0≤y²≤280 よって, yのとりうる値は y=0, ±7, ±14 ←a, b が互いに素で, an がbの倍数ならば, nは6の倍数である。 (a, b, n は整数) ←142=196,212=441

丸で囲んだ式変形がわかりません その後もなぜ+∞になるのかわかりません

2x2-3x+2-2x(x-1) = lim {2 x+100 x-1 = lim =x+2= lim *-180x-1 X ○ したがって, y=2x-1 2x (x-1))} 2x2-3x+2 -1+ 1 X 2 x =-1 は lim f(x)= lim -1+01 x-1+0 x1 lim 2x-1+ 12x-1+ 1 3673 6+ +00 *-1+0 x-1 2x-3x+2 -1-0 *-1-0 x-1 lim f(x)= lim = lim (2x-1+1)=- 1-1-0 したがって, x=1 て, (i), (i)より、漸近線は, y=2x-1, x=1

24. （１）と（２）は同じ問題のようで、場合分けが必要ない問題と必要な問題ですが、問いを見た時に場合分けの有無が分かる方法などはあるのでしょうか？？ 写真2枚目のような解き方をして間違えました。 また、［2］のこれはabc≠0を満たす全ての実数a,b,cにおいて成り立つ、... Read More

44 基本例題 24 比例式と式の値 (1) x+y x+y_y+z z+x 5 7 (2) b+c a 解答 (1) = 6 cta b よって 指針 条件の式は比例式であるから, (1) x+y H5T 6 y+z = ...... 比例式は=とおくの方針で進める とおくと x+y=5k, y+z=6k,z+x=7k (A) これらの左辺は x,y,zが循環した形の式であるから、Aの辺々を加えて、 すると, x+y+z をk で表すことができる。 右下の 検討 参照。 (2) も同様。 a+b C c+a b x+y=5k ① +② +③ から 2(x+y+z)=18k したがって x+y+z=9k -②, ④-③, ④-① から,それぞれ x=3k, y = 2k, z=4k xy+yz+zx x2+y2+22 (2) 分母は0でないから b+c a+b a C dat xy+yz+zx x2+y2+22 のとき、この式の値を求めよ。 ...... (0) のとき z+x=kとおくと,k=0 で 7 ①,y+z=6k - ...... ②,z+x=7k ①,c+a=bk 6k2 +8k2+12k2 (3k)²+(2k)²+(4k)² 26k2 26 29k2 29 = abc≠0 (a + b)(b んとおくと ...... 44 b+c=ak ① ① +② +③ から よって (a+b+c) (k-2)=0 ゆえに a+b+c=0 または k=2 [1] a+b+c=0のとき b+c=-a b+c a 2(a+b+c)=(a+b+c)k id=p ②, a+b=ck ED)Ed 4 db- ...... (検討」 ①~③の左辺は、 循環形 (xy Z 次の式が得られ b+いる。循環形の式 ...... ...... (3) の値を求めよ. (3) -a= よって k= -1 a [2] k=2のとき, ①-② から a=6 ②-③ から b=c よって, a=b=cが得られ,これは abc≠0を満たすすべ ての実数a,b,c について成り立つ。 [1], [2] から, 求める式の値は -1, 2 加えたり,引いた 処理しやすくなる ho-do <x:y:z=3:2 3･2+2.4+4・ 32 +22+42 と計算すること <abc≠0⇔a≠0 6=0 か 0の可能性がある 両辺をa+b+ci はいけない。 (*)k=2のとき ① 5 b+c=2a, c この2式の辺々を b-a=2(a-t よってa=b (分母) 0の確認。

三角比の1：2：ルート3は見た目の感覚ですか？

3) A 3 50 B

数学的帰納法の問題です。 自分で途中まで解いてみたのですが合ってるかすら分かりません。 詳しく解説して欲しいです！

演習 4: 帰納法 ③ 推測して帰納法 2 ≤ n を満たす正の整数n をすべて求めよ。

122.1.イ 記述これでも良いですか？ また、記述問題だとしても（mod12で8^2 ≡4と8^4≡4より2k乗とした）解説の方法で解いて良いのですか？ （8^2 ≡4と8^4≡4より感覚的にはmod12で8の2k乗≡4は分かるけど2つの例だけで2k乗とおくのは証明が不足... Read More

は る)。 D a うる。 る。 ) pk k 2 2 演習 例題 122 合同式の利用・・・ 累乗の数の余り 合同式を利用して,次のものを求めよ。 ア) 13100 9で割った余り (イ) 20002000を12で割った余り [(イ) 早稲田大〕 (2) 472011 の一の位の数 (2) 類 自治医大] 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (mod m), c=d (mod m) のとき 3ac=bd (mod m) (1) 累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントである。 また、合同式を利用して、 指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算がらくに なる。 ･･････ 注意 α” のα を指数の底という。 解答 (1) (ア) 134 (mod9) であり 4² 16 7 (mod 9), 4°=64=1 (mod 9 ) ゆえに |42100=4.(43)=4 (mod9) 特に,a=1 (mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 (2) ある自然数Nの一の位の数は, N10で割ったときの余りに等しい。 したがって, 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 よって したがって 求める余りは 4 13100=4100=4 (mod9 ) 4 自然数nに対し α"=6" (mod m) (イ) 2000=8 (mod12) であり 8°=8.4=8 (mod 12), ゆえに,kを自然数とすると よって 82=64=4 (mod 12), 8'=(82)=42=4(mod 12) 82k4 (mod12) 20002000=820004 (mod12) したがって 求める余りは (2) 477 (mod10) であり 7³ 9-7=3 (mod 10), ゆえに よって 472011 720113 (mod10) したがって 47 2011 の一の位の数は 7 72 49=9 (mod 10), 7=92=1 (mod 10) 72011 (74) 502.73 1502.3=1-3=3 (mod 10) 00000 p.492 基本事項 [③3] 3 次のものを求めよ｡ 13-49 であるから, 13 と4は9を法として合同で あることに着目し, 4 に関 する余りを調べる。 132, 13 を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 42 4の方がらく。 2000" の計算は面倒。 2000 12で割った余りは 8 であるから 2000 と8は 12 を法として合同。 したがって, 8" に関する余 りを調べる。 47=10・4+7 2011=4・502+3 15245 (イ) 30003000 を14で割った余り 495 4章 19 発展合同式 る｡ る。 2) -1) でる たと は、 は, な 満 3進

81番の問題なのですが、なぜ分子は6P3なのですか？ 同時にサイコロを投げたら1.2.6 2.1.6 6.1.2など同じとカウントできませんか？（6C3じゃないんですか？）

68 70 △ 79 白球3個と赤球4個が入っている袋がある。この袋から同時に3個の球を取り出す とき、その中に白球も赤球も含まれている確率を求めよ。 A 76 80 1から100までの数を1つずつ書いた100枚のカードの中から1枚のカードを引く。 このとき次の確率を求めよ。 A 77 Q1) カードの数が3で割り切れるが5で割り切れない確率 42) カードの数が3でも5でも割り切れない確率 81 右の図のように,正六角形の頂点に1から6までの番号が付いて いる。3個のさいころを同時に投げるとき、出た目の番号の頂点で三 角形ができない確率を求めよ。 6. 4 2 2節・確率とその基本性質 127

うかる確率の問題なのですが集合の概念を使う必要があるのでしょうか？またなぜ私の解答は間違っているのでしょうか？

高の歩動の指対試こな 2 対 め ① Z ステージ3 入試実戦編 場合の数 本ITEM からは, 「法則」 の活用がメインとなります。 まずは, 「含む」とか「ある か、一見明確な表現について考えます. ここが 「含む」=「少なくとも1つある｣ →補集合を利用 6/3× 桁の自然数を作 例題33 1,2,3,4,5の5種類の数字を並べて n るとき、次の問いに禁えば何があるかじ数字を繰り返し用いてもよいとす。 (1) (2) 数字 1,2をどちらも含む自然数は何個あるか. 着眼) (3) 数字 1,2,3を全て含む自然数は何個あるか. 2/16 (2)(3)×カルノ回使う必等以 (1) 含まれる数字1の個数は, 次のうちどれかです。 全体像を視 0 1,2, 3...,n 求めやすい 求めたい olan i これを見れば、問われている ｢1を含む」には多くの場合があって面倒であり, 含まない」の方が考えやすいことが一目瞭然」 ここは「補集合｣ を活用しましょう。 (2) (1) で得た着眼をもとに, 「包除原理」 を適用しましょう. 2つの集合A,Bが関 する問題ですから,「カルノー図｣を用いて視覚化します。 (3) こちらは3つの集合 4, B, C ですから「包除原理」+「ベン図」で.ただし... 解答作られる自然数の総数は5.… (*) (右図参照)1桁目 2桁目 また,それらから作られる3つの集合||||| A: 「1を含む」, B: ｢2を含む｣ C: 「3を含む」 1 を考える. 2 (1) Aの補集合は A: 「1を含まない」, i.e. 「n 桁が全て 2, 3, 4, 5」. : n(A)=4". ○これと (*) より 求める個数は n(A)=5"-n(A)=5"-4". (2) 求める個数はn (A∩B) である. ○B: 「2を含まない」, i.e. 「n 桁が全て 1,3,4,5」, ANB: 「1,2を含まない」 i.e. 「n桁が全て 3, 4, 5」. .. n(A∩B)=3". ○これらと (*) より 求める個数は n(A∩B)=5"-(4"+4-3") …① =5"-2.4"+3". 91 CHIRUPA 求めたい A A カルノー図で B 3 ¥ 5 B ・求めやすい (③3) ○求める個数は(A∩BC)である。 (2)までと同様にして n(A)=n(B)=n(C)=4". n(ANB)=n(BNC)=n(CNA)=3", ANBOT: 「1,2,3を含まない」 ie. 「n 桁が全て 4.5」 .. n(ANBNC)=2". これらと①より、求める個数は 。 n(ANBNC)=5n-(4+4+4"-3"-3"-3"+2") - 解説 ① ② で用いた公式を集合記号を用いて書くと、次のようになります｡ (作られる 自然数全体の集合を表します. ① :n(A∩B)=n(Un (A∩B)- =n(U) -n (AUB) 除原理 . ド・モルガンの法則 ② : n (ANBNC) =n(U) -n (ANBNC)- 確率では事象 (U)-{n(A)+n (B)-n (A∩B)). =n(U)-n(AUBUC)L =n(U)-{n(A) + n(B)+n(C) ド モルガンの法則 ラ包除原理 -n(ANB)-n(BNC)-n(CNA)+ n(ANBNC)). ①ならまだしも,②をマジメに書くとそれだけで疲れちゃいますから、解答のよう にイキナリ数値を書きましょう. そもそも、 上記等式を“公式”として覚えて使ってい るというより, (2) のカルノー図や (3) のベン図を見ながら個数を過不足なく数えてい 注意1 ITEM 22 でも書いたように、ベン図を用いる際には、“本質的な集合”, つま るという感覚でいて欲しいものです。 り個数を求めやすい集合が輪の内側になるように描かなければなりません。 本間で求 めやすいのはA,B,C の方ですね。なので解答のような描き方になったわけです。 重要 再確認しておきましょう. ベン図を書く人にも工夫 集合の名称 2つの集合絡んだら, 名前を付けてカルノー図 3つの事象ではベン図.ただし輪の内側が求めやすいように. 注意2 本間では ITEM 6 注意でお見せした“主役脇役ダブルカウント”という有名な誤答 をする人が多いので注意すること. A TAATETER. ステージ3 入試実戦編 場合の数 95 → 5.19 類題 33 8/3× 100から999の3桁の整数の中で、 3つの位の中に2の倍数と3の倍数の両方を含むもの の数を求めよ.0=20より0は2の倍数同様に,0は3の倍数) ( 解答解答編p.11)