画像にも書いたのですが、 不等号が≦になるときと、＜となるときの違いがわかりません。 初歩的な質問だと思うのですが、教えてもらえると助かります

UB 基本 例題 38 不等式で表される集合 C00000 実数全体を全体集合とし,A={x|-2≦x<6},B={x|-3≦x<5}, C={x|k-5≦x≦k+5} (kは定数) とする。 (1)次の集合を求めよ。それぞれ求め (ア) ANB (イ) AUB (2) ACCとなるkの値の範囲を求めよ。 toks (ウ) B (エ) AUB ( p.68 基本事項 CHART & SOLUTION 不等式で表された集合の問題 数直線を利用 集合の要素が不等式で表されているときは、集合の関係を数直線を利用して表すとよい。 その際、端の点を含む(≦,≧) ときは ● で ・P・ 含まない (<, > ) ときは○ で表しておくと,等号の有無がわかりやすくなる (p.55 参照)。 例えば,P={x|2≦x<5} は右の図のように表す。 2 5 71 解答 (1) 右の図から (ア) A∩B={x|-2≦x<5} (イ) AUB={x|-3≦x<6} (ウ) B={x|x<-3,5≦x} P (ｴ) AUB={x|x<-3, -2≦x} (2) ACCとなるための条件は k-52 ・B -B- ・A -3-2 56 x k-5-2 -A- (e a)=80A (1) ■文の等式を ◆補集合を考えるとき 「端の点に注意する。 の補集合は ● ●補集合はO ◆ k=1のとき x C={x|-4≦x≦6} 6 k+5 E. SN)=8(e)k=30 Cats (es) C={xl-2≤x≤8} ① 6 k+5 ...... ② が同時に成り立つことである。 ①から k≤3 共通範囲を求めて ②から 1≤k 1≤ k ≤3 であり,ともにACC ② を満たしている。 INFORMATION SA (2) において, C'={x|k-5<x<k+5} であるとき, ACCとなるための条件はk-5<-2 かつ 6≦k+5 すなわち, 1≦k<3 となる。 等号の有無に注意しよう。 lea k-5-2 A 6 k+5 この不等号はどうやって決定する? PRACTICE 38° [

a=0の場合は考えなくていいのですか？定義域の両端が≦なのでx=0もあり得るのかなと思ったのですが

x=0x=a 値が変わるので場合分けが必要となる。 致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。 よって、定義域 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に (1)y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, 軸からの距離が遠いほどyの値は大 きい (p.110 INFORMATION 参照)。 112 基本 例題 63 定義域の一端が動く場合の関 は正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x2-4x+5 について p.107 基本事項 21. 基本60 (1) 最大値を求めよ。 求 (2) 最小値を求めよ。 CHART & SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け 定義域が 0≦x≦a である から、文字αの値が増加する と定義域の右端が動いて,x の変域が広がっていく。 したがって,αの値によって,. 最大値と最小値をとるxの 軸 テーオー 区間の 右端が 動く 113 (1)定義域 0xha の中央の値は1である。 [1] 0 < < 2 すなわち 0<a<A のとき 図 [1] から, x=0 で最大となる。 最大値は f(0)=5 [1]軸が定義域の中央 x=1/2より右にあるか ら、x=0 の方が軸より 違い。 よってf(0) >f(a) 区間の 右端が 動く 10 [2]軸が定義域の中央 x2 [2] 1=2 すなわち a=4 のとき 図[2]から,x=0, 4 で最大となる。 最大値は f(0)=f(4)=5 [2] x= 最大 最大 d x=0 x=a x=0 ロー x=a x=0 x=4 ロー [3] 2< 1/2 すなわち 4<a のとき 図 [3] から, x=αで最大となる。 最大値は f(a)=a-4a +5 [3] x = 1/2 に一致するから、 軸とx=0,α(=4) との 距離が等しい。 よってf(0)=f(a) 最大値をとるxの値が 2つあるので,その2つ の値を答える。 [3]軸が定義域の中央 最大 x = 1/2 より左にあるか ら、x=αの方が軸より 遠い。 ニス大 [1] ~ [3]から [1] 軸が定義域の 中央より右 [2] 軸が定義域の 中央に一致 軸 定義域の両 端から軸ま での距離がDi [3] 軸が定義域の 中央より左 軸 等しいとき [最大] [[] T 最大 最大 最大 定義域 の中央 定義域 の中央 下に合 <D 定義域 の中央 0<a<4 のとき x=0 で最大値 5 a=4 のとき x = 0, 4 で最大値5 a4 のとき x=αで最大値α-4a+5 (2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦αに含まれるかどうかを考える。 [4] 0<a<2 のとき [4]軸が定義域の右 るから 軸に近 の右端で最小と x = 0 x=a よってf(0) <f(a) 答えを最後にまとめて 書く。 x=2x2 (2)y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸が定義域 0≦x≦αに含まれてい れば頂点で最小となる。 よって, 軸が定義域 0≦x≦α に含まれるか含まれないかで場合 分けをする。 [4] [5] 軸が定義域 の外 軸が定義域 の内 牛の [4] 図[4]から、x=αで最小となる。 最小値はf(a)=α-4a+5 [5] 2≦a のとき 最小 [5]軸が定義域 図 [5] から, x=2で最小となる。 最小値は f(2)=1 x=a 頂点で lx=2 [5] [4],[5] から 0<a<2 のとき x=αで最小値 α-4a+5 最小 最小 a≧2 のとき x=2で最小値1 x=a 最小 答えを最 書く。

この問題の赤線を引いた、囲ったところなのですが、なぜこの確認をする必要があるのでしょうか。 [2]ではkの値を出して終わっているのになぜ[1]ではこの確認が必要なのか疑問に思いました。 教えていただきたいです。 見えづらかったら申し訳ないです🙇‍♀️

基本 例題 26 比例式の値 比例式は比のかんけいを表す(値 ではどんな色でも立って ののののの 47 y+z=z+x x y 2 x+yのとき、この式の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 比例式はんとおく 基本 25 1 4 式・不等式 等式の証明ではなく,ここでは比例式そのものの値を求める。 y+z=z+x x xx+y=kとおくとy+z=xk, z+x=yhx+y=k y Z この3つの式からの値を求める。 辺々を加えると, 共通因数x+y+z が両辺にできる。 これを手がかりとして, x+y+z またはkの値が求められる。 求めたんの値に対しては, (母)≠0(x0,y=0, z≠0) を忘れずに確認する。 円 分母は0でないから くための 条件が ではない a÷0 xyz=0 →は答えが1つに定まらない存在しな y+z_z+x_x+y=kとおく刺が成三角比とか x y ◎立つことを言うとおける/ x2=03-y+z=xk...①, z+x=yk…②, x+y=zk ③ ①+②+③ から 2(x+y+z)=(x+y+z)k よって (k-2)(x+y+z=0→どちらからみないから =2または x+y+z=0のときにもんだいの式が ゆえに しか [1] k=2のとき x=y=zとなる y+z=2x... ④,z+x=2y から かつ y=0 かつ z=0 ←xyz≠0 x=0 減り立たないと答えが営まらな SKとおけない(定数) x+y+zが0になる可 能性もあるから,両辺を 11 45-1-5 50:50 20=0=0. 切り立つ場合分ようこれで割ってはいけな い。 びた①、②、③からこ Z+X xy y=2 が成り立つ=kの値 正しい -y+2 ④⑤から ⑤ x+y=2z でな y-x=2x-2y (6) ⇒立つ したがって これを⑥ に代入すると x+x=2z よってx=z い よって x=y おにん ①何も残 牛の x=y=z こうしないと与式がなりた もんだい) なぜこの証明がいるのか x=y=z かつ xyz = 0 を満たす実数x, y, z の組は存在する。例えば x=y=z=1 Q [2] x+y+z=0 のとき 条件式 y+z=-x よって k=y+z=-x=-1 x x 例えば, x=3, y=-1 →xy、2が0以外2=-2 など,xyz≠0 の時に成立つというかつ x+y+z=0を満 2.1 逆にこれかがたす実数x, y, zの組は り立たなかったら存在する。 I. [1], [2] から, 求める式の値は INFORMATION はの時でしか成り立たな 循環形の式について なってしまうから。 ①~③の左辺は,x,y,zの循環形(x→y→z→x とおくと次の式が得られる) に なっている。 循環形の式は、上の解答のように, 辺々を加えたり引いたりするとうま くいくことが多い。 一般には, 連立方程式を解く要領で文字を減らすのが原則である。

このときの行まではわかるんですけどそこから急にこれはC nの第K項であるとゆわれても何故かわかりません。 どゆことですか？

362 重要 例題 2つの等差数 一般項が7n-2 である等差数列を {an}, 一般項が4n-1である等差数列を {bm} とする。 {a}と{bm}に共通に現れる数を小さい順に並べてでき {c} の一般項を求めよ。 CHART & SOLUTION 2つの等差数列{an}, {bm} に共通する項 a=bm として,,mの1次不定方程式を処理 1次不定方程式 ax+by=c (a,bは互いに素)の整数解を求めるには、 1組の解 (b,g) を見つけてα(x-p)+6(y-g)=0とする。 解答 a=bm とすると 71-2=4m-1 きる数別 基本1. 数学基本( (新課程チャート式解法と演習数学A基本例題127を参 よって7l-4m=1...... ① l=-1,m=-2 は ① の整数解の1つである。 よって 重要 例題 4と25の間 CHART & 既約分数の 補集合の 分母が素数の 25 44 4-11' ①は, 初 ① ② から 7.(-1)-4-(-2)=1 7(l+1)-4(m+2)=0 7(l+1)=4(m+2) ② すなわち 7と4は互いに素であるから, 1+1は4の倍数である。 ゆえに kを整数として, 1+1=4k と表される。 これを③ に代入すると m+2=7k l, m, 自然数 HDFC m ≧1 として a=71-2=7(4k-1)-2=28k-らない場合,注意が必 詳しくは解答編 Cn=28n-9 -項の書き上げによる解法 PRACTICE 70 参照。 よって l=4k-1,m=7k-2 lmは自然数であるから このとき これは,数列{c} の第ん項である。大量 したがって, 数列{cn} の一般項は INFORMATION 7と4の最小公倍数は 28 {az}:5, 12, 19, 26, 33, であり, {6}:3,7,11, 15, 19, であるから C=19 よって, 数列{cm} は初項 19, 公差 28 の等差数列であるから, え方で求 ただし, 分母の1 5-11 UG 11' これら 含まれ 解答 4と これ ev (1) その一般項は Cn=19+(n-1)・28=28-9231 (公差)=(2つの数列の 公差の最小公倍数) 補足一般に,2つの等差数列 (公差はともに正) に共通項があるとき,共通項を小さ い順に並べた数列も等差数列となる。 PRACTICE 7° 一般項が5n+4である等差数列を {an}, 一般項が 8n +5である等差数列を{bmと る。 {a}と{bm}に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列{c}の一般項 めよ。 F

黄色の線を引いたところがよくわからないです。どういう事を説明しているのですか？

基本 例題 76 定点を通る直線の方程式 共・共 0000 直線 (4k-3)y= (3k-1)x-1.... ① は, 実数んの値にかかわらず,定 を通ることを示し,この点Aの座標を求めよ。 ことを証明せよ 基本 例題 77 2直線の 2直線 2x+3y=7 直線の方程式を求めよ。 ① CHART & SOLUTION どんなんについても成り立つ kについての恒等式 方針② 方針① kについて整理して係数比較 (←係数比較法) に適当な値を代入 (←数値代入法) E の値にかかわらず通る→kの値にかかわらず直線の式が成立 →kについての恒等式 p.36 基本例題18で学習した恒等式の問題解法の方針で解いてみよう。 CHART & SOLUTION 2直線 f(x,y)=0,g(x 方程式 kf(x,y) +g ↑xyで表さ 問題の条件は2つある。 [1] 2直線 ①,② の そこで,まず, ① ② の交 る (条件[2]) ようにする。 解答 ALORS A 交 方針① 直線の方程式をんについて整理すると (3x-4y)k- (x-3y+1)=0 解答 ・①' 係数比較法 ①' が実数kの恒等式となるための条件は kf+g = 0 がんの個 式=0.9=0 inf. 次の基本例題77で 3x-4y=0, x-3y+1=0 これを解いて x = 1/1, y = 35 4 3+* 2007 (ε-x) 5' 5 程式は、 このとき, ①'はんの値にかかわらず成り立つ。 学習するように,'は、 3x-4y=0, x3y+1=0 の交点を よって, ①'はんの値にかかわらず定点 A 方針② k=0 のとき, ①は A(1,2)を通る。直線を表すから、これら (4·0-3)y=(3・0-1)x-1 (4・1-3)y=(3・1-1)x-1 整理すると x-3y+1=0 k=1 のとき, ① は 整理すると ② 直線の交点が定点Aである 02-1 数値代入法 に適当な値を代入 x,yの係数を0にする を定数とするとき ③は, 2直線 ① ② る直線を表す。 k(2x+3y-7)+(4x- ③が,点 (54) を ③に x = 5, y=4 15k+45 これを③に代入す 整理すると x- INFORMATION

(2)の問題で黄色の線を引いたところでどうしてこれがわかるのですか？

全4 例題 40 「解の種類の判別 m は定数とする。次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 (1) 2x2+8x+m=0 (2) mx2-2(m-2)x+1=0 2431 CHART & SOLUTION p.69 基本事項 2 2010 32 EPIXIS 左公のたま

赤で囲ったところがなぜそうなるのか理解できないです。わかる方教えてください🙏

[3] α-2<0 すなわち α 2 のとき α-2は負の数なので 両辺を負の数 α-2で割って x<-3 -ニュー 不等号の向きは逆に ① と INFORMATION 不等式 Ax > B の解 は [1] A >0 のとき x> B / 不等号の向き した A ( は変わらない 例 B / 不等号の向き [3] A<0 のとき x< A が逆になる PRACTICE 31日 [2] A=0 のとき B≧0 ならば 解はない B<0 ならば解はすべての実数 注意 不等式が Ax≧B の場合は, A = 0 のとき 0x > -5 ・解はすべて 「B>0」ならば解はない, 「B≦0」 ならば解はすべての実数となる。 の実数 0.x>5 ・・・ 解はない 0.x>0 解はない PF (1 αを定数とする。 次の不等式を解け。 (1) ax-1>0 (2) x1219

命題の証明のところなんですけど、意味がわかりません💦誰か教えてください🙏🙏🙏

DO 項 3 本例題 43 対偶を利用した命題の証明 79 00000 文字はすべて実数とする。 対偶を考えて、次の命題を証明せよ。 (2)626 ならば 「| a +6|>1 または |a-b>3」 (1) x+y=2 ならば 「x≦1 または y≦1」 CHART & SOLUTION p.76 基本事項 6 対偶の利用 pomu 命題の真偽とその対偶の真偽は一致することを利用 (1)x+y=2 を満たすx, yの組 (x, y) は無数にあるから,直接証明することは困難であ る。 そこで, 対偶が真であることを証明し、もとの命題も真である, と証明する。 条件 x または y≦1」 の否定は 「x>1 かつy>1」 (2)対偶が真であることの証明には、次のことを利用するとよい。 A≧0, B≧0 のとき A≦B ならば A'≦B2 (p.118 INFORMATION 参照。) (1) 与えられた命題の対偶は 2章 6 =0 #0 とされる。 「x>1 かつy>1」 ならば x+y= これを証明する。 x>1, y>1 から x+y> +1 すなわち x+y>2 よって, x+y≠2 であるから, 対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 (2) 与えられた命題の対偶は 「α+ 6≦1 かつ a-b≦3」 ならば2+62<6 これを証明する。 |a+6|≦1, |a-b≦3 から (a+b)2≦12, (a-b)2≦32 (a+b)2+(a-b)2≦1+9 ←pg の対偶は gp ←x>ay>b ならば x+y>a+b (p.54 不等式の性質) A²=A² ->1 よって ゆえに よって 2a2+62) ≦10 a+b25 ゆえに、対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 ← ' + 625 と 5<6 から a2+62<6 ら選べ POINT 条件の否定条件, gの否定を,それぞれ,g で表す。 かつ または pまたはq かつ PnQ=PUQ PUQ=PnQ PRACTICE 43º 文字はすべて実数とする。 次の命題を, 対偶を利用して証明せよ。 (1)x+y>a ならば 「x>α-b または y>b」 (2)xについての方程式 ax+b=0がただ1つの解をもつならば α≠0 論理と集合

至急です！黄チャートの例文の意味がわかりません。 因数分解の問題です！ (2)の1行目から2行目になるところの意味がわかりません。 言葉足らずかもしれませんが回答よろしくお願いします。(1番最初に答えてもらった人をベストアンサーにします)

C (2)x(y2-z2)+y(z2-x2)+2(x²-y2) =(-y+z)x2+(y2-22)x+yz-y'z =-(y-z)x2+(y+z)(y-z)x-yz(y-z) 21+0)+d(0 =-(y-z){x2-(y+z)x+yz} =-(y-z)(x-y)(x-2) =(x-y) (y-z) (z-x) 輪場の順に整理。 xについて降べきの順に整 理する。 x²+x+ (y-z) が共通因数。 ち これを答えとしてもよい。 ドローーー輪環の順に整理。 INFORMATION a の文字についての式はなるべく輪環の順に書くようにすると

数Ⅱ　軌跡の問題です 解説3行目からわかりません!! 解説お願いします!!🙇

162 基本 例題 99 媒介変数と軌跡 00000 は定数とする。 放物線y=x'+2(a-2)x-4a+5について αがすべての 実数値をとって変化するとき、頂点の軌跡を求めよ。 基本 98, 重要 102 CHART & SOLUTION 基本例 直線 x x-2y- CHAR 線対称 xyが変化する文字αを用いて表される点の軌跡 つなぎの文字を消去して、xだけの関係式を導く 頂点の座標を (x, y) とすると x=(αの式),y=(αの式) の形に表される。 ここから, つなぎの文字αを消去して,xとyの関係式を導く。 解答 放物線の方程式を変形すると 点Qが Pの軌 y={x+(a-2)}-α²+1 y={x+(a-2)}^ -(a-2)-4a+5 ---- x=-α+2 放物線の頂点をP(x, y) とする と a=-1 ① 0 /1 2 3 X 放物線y=a(x-p)+q の頂点の座標は (p.g) y=-α²+1 ...... ② 解答 直線 上を 直線 に関 ①から α=-x+2 x これを② に代入して y=(x+2)2+1 -3a=2 a=-2 つなぎの文字αを消去。 したがって、求める軌跡は 放物線 y=(x-2)2+1 INFORMATION 媒介変数表示 図形の方程式がx=f(t), y=g(t) のように,もう1 別の変数 (媒介変数) を使って表されたとき,これ を媒介変数表示という。 y (-1,4) t=-2 (3,4) t=2 1つの実数の値に対して, x=f(t), y=g(t) によ り (x, y) の値が1つに決まり,tが実数の値をとっ て変化すると, 点(x,y) は座標平面上を動き、 図形を 描く。 (0, 1) t=-1 (2,1) t=1 0 (1, 0) 例 x=t+1, y=t2 は放物線y=(x-1) 2 を表す。 実際に点をとると, 右の図のようになる。 1=0 PRACTICE 99 3 αは定数とする。 放物線 y=x+ax+3-α について, αがすべての実数値をとって 変化するとき,頂点の軌跡を求めよ。