(2)を解きましたが間違いでした。a_(2n-1)=bkと数列を置くところが違うのでしょうか。

1+1 (1) q=1より, a2=a+- =2,as=a2+/2/2=3 2 4 3+1 a=a3+ =5, as=a4+2 -=7,as=as+ 5+1 2 =10, a₁ = a+ 6 =13 (2) n=2k-1のとき, (2k-1)+1 a(2k-1)+1=a2k-1+ a2h=a2k-1+k 2k n=2kのとき,2k+1=azk+ =a2k+k 2 ①,②より,azk+1=a2k+k=(azk-1+k)+k=azk-1+2k n≧2のとき、 azn_1=a1+(ag-a)+(a5-a3)+..+(azn-1-a2n-3) n-1 n-1 fch-in) Q- =a1+ (azh+1-a2n-1)=1+2k=1+2(n-1)n k=1 =n2-n+1 (n=1のときもこれでよい) ①から, azn=azn-1+n=n2+1 ③ ④ n=20 として, α39=202-20+1=381, a = 202+1=401 (3) ③, ④より 20 n=1 20 (a2n-1+a2n) = (2n²-n+2) =(2n²-n+2) n=1 =2.11.20-21-41- 1 ・20・21+2・20=5570 3 奇数項についての漸化式を立て て奇数項を求める。 偶数項は奇 数項からすぐに分かるので, 偶数 項についての漸化式は立てる必 要はない. Σa=na k=1 13 演習題(解答は p.77) 次の漸化式によって定義される数列{a} (n=1, 2, ･･･) について,次の問いに答えよ. 1 a1=4, a2n=/azn-1+n2, azn+1=4a2n+4(n+1) (1) 2, 3, 4, 5 を求めよ. It (2) azn, a2n+1 をnを用いて表せ。 (2) 奇数番目の項だけ (3){a} の項で4の倍数でないものは, nの値が小さいものから4項並べると, a, ao, ao, ao Ths. に着目する. (3) 2+1 は漸化式か (類 松山大薬) 88 68

黄色チャートの問題で、 (1+x)^6(2+x)^6 を展開した時のx³の項の係数を求めよ が解説を見ても分かりません、、 分かりやすく解説をお願いします🙇🏻‍♀️՞

第1章 式と証明 ・27 EX (2+x)を展開したときの x^ の項の係数と, (1+x) (2+x)を展開したときのxの項の係数 3 を求めよ。 (2+x) の展開式における x4 の項は [関西学院大〕 +0≤q≤6 6C4.22x4 よって, x4 の項の係数は 6C4・22=6C2・22=60 (1+x) の展開式の一般項は 6Cp.16-Px=6Cpx +0≤p≤6 (2+x) の展開式の一般項は 6C9.26-9x9 (04) ゆえに,(1+x)(2+x) の展開式の一般項は Cpx×6Cg・26-x=6CpX6C,・26-9xp+g ( p+g=3 とおくと (p, q)=(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0) 9 したがって,x の項の係数は (1+x)(2+x) の展開 式の一般項は,(1+x), (2+x)の一般項の積。 p+q=3, 0≤p≤6, 6を満たす整数 6CoXsC3•2°+6C1×6C2・24+6C2×6C1•25+6C3X6Co.26 の組(b,g) を求める。 =160+1440+2880 +1280 =5760 次の等式が成り立つことを証明せよ。 350 Co+27C2+27+2 C2=2C1+2C3 +275+....+2nC2η-1=22n-1 項定理により (1+x)2n=2nCo+2nix+2n2x2+2nC3x3+...... +2nC2n-1x27-1+2nC2nx2n ① に x=1 を代入すると 22n=2nCo+2nC1+2nC2+2nC3+････ +2nCzn-1+2nC2n .... ② こ x=-1 を代入すると X3 ac 0=2nCo+2mC1(-1)+2nCz(−1)2+2nCs(-1)+...... +2C2-1 (−1)2月-1+2nCzn(-1)2月 =2nCo-2nC1+2nC2-2nC3 +27C4+・・・・・・ -2n C2-1+2nCzn がって 2n Co+2nC2+2nCa+ •+2nCzn 2n Crのrが偶数のと きと奇数のときで符号が 異なってでてくるように, x=-1 を代入。 1つ目のイコールが示 =2nC1+2nC3+2nC5+ ..+2nC2n-1 ③ せた。 3 から 22n=(2nCo+2nC2+2 Cat.+」 Dett

(2)の解説の5行目の「n>=2のとき」を書くのはシグマを使うからだと思いますが、6行目の式の、第1、2項はn=0、1の時とも言えると思うので、 「n>=2のとき」は6行目と7行目の後に入れてしまいました。 なぜ解答は5行目に「n>=2のとき」を入れているんでしょうか。

● 13 奇隅で形が異なる漸化式 次のように定められた数列がある. n+1 n a1=1, an+1=an+ (n=1, 3, 5, ...), an+1=an+- (n=2, 4, 6, ...) 2 (1) a2=,ag= a6= □, a7= である. (2) a39= a40= である. (3) 初項から第40項までの和は である. (明大・農) a3, ...... 奇偶で形が異なる漸化式 nの奇偶で形が異なる漸化式は, n=2k-1, n=2kとおいて, 奇数項 (41, ･････) どうしに成り立つ漸化式, つまり2k+1を2-1で表す式を立てて解き、もとの漸化式に戻っ て a2k を求める. 解答量 (1) a1=1より, a2=a+ -=2,α3=az+- 1+1 2 2 23, 3+1 2 a=a3+ -=5,25=a4+ -=7, a6=a5+ 4 2 5+1 2 =10,α=46+ (2) n=2k-1のとき a(2k-1)+1=a2k-1+ (2k-1)+1 2 1つすすめ 2k 2 n=2kのとき,2k+1=a2k+ =a2k+k a2k=a2k-1+k ①,②より, a2k+1=a2k+k=(azk-1+k)+k=a2k-1+2k n≧2のとき an-1=a1+(a-a1)+(α5-a3)+... + (azn-1-42n-3) =a1+a2+1-28-1)=1+2k=1+2.12 (n-1)n =n2-n+1(n=1のときもこれでよい ) 62 =13 ① から, a2= an-1+n=n2+1 ③ ④ n=20として,α39=202-20+1=381, a=202+1=401 (3) ③ ④ より 20 n=1 20 (azn-1+azn)=2(2m²-n+2) n=1 =2· ・20・21・41- 1.41-1/20 -・20・21+2・20=5570 1 3 奇数項についての漸化式を立て て奇数項を求める. 偶数項は奇 数項からすぐに分かるので, 偶数 項についての漸化式は立てる必 要はない. a=na k=1

次の問題の(2)で青い線の意向がよく分からないのですがどなたか解説お願い致します🙇‍♂️

260 m n は正の整数でm<nとする。 mとnの間にあって,次の数を分母とする 既約分数の和を求めよ。 (1) 27 (2)6

この数列の問題なのですが、途中式の計算の工夫が分かりません。 教えて下さい。 また、この手の問題はなにを意識して計算を工夫すればいいのですか？

(5) 12+22.3+32.4++n² (n+1)

この問題で、なぜ赤線を引いている1行目の式から2行目の式にできるのかわかりません。どのようにして1行目の式から2行目の式にしているのですか？どなたか教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

(2) a2(n+1)-a2n=a2n+2a2n ゆ ={a1+(2n+1)d}-{a,+(2n-1)d} =2d (一定) よって, {az} は等差数列である。

(1)の問題を、階差数列で解いたのですが、解答と答えが違いました。 検算もして間違ってるとは思えないのですがどこがダメなのでしょうか,,, どなたか教えていただきたいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

446 基本 例題 例題 24 数列の和と一般項, 部分数列 0000 初項から第n項までの和 S が Sn=2n-nとなる数列{a} について (2) 和α1+α+as+......+α2-1 を求めよ。 (1) 一般項 αn を求めよ。 指針 (1) 初項から第n項までの和S”と一般項 αの関係は n≧2のとき Sn=a1+a2+ +an-tan -)Sn-1=a+az+...... +αn-1 p.439 基本事項 基本 48 Sn-Sn-1= n=1のとき α=Si an よって a=S-S 和 S がnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項 am を求め すで表す

α=2i はどのようにして求めたのでしょうか？

基礎問 56 複素数列と極限 次の問いに答えよ. 1+i (1) W=1,Wn+1= 2 -wn (n=1,2,3, ...) をみたす数列{wn}につい て, wmnで表し,n→∞ のとき, wn が近づく点を求めよ. (2)=1+2i, Zn+1=- 1+i 2 -zn+1+i (n=1, 2, 3, ...) をみたす数列 {2h}について,znnで表し, n→∞ のとき, Zn が近づく点を求め 点wn (2) 縮小し 原点 Zn Ce 精講 55 (2)と同じ形の漸化式なので, wn はすぐに求まりますが, 極限は 実数と虚数で同じように考えてよいのでしょうか? 複素数 In+yni (In, yn:実数)は点(In, yn) と対応していることか ら,Wn=In+yni において, In→α, yn→β(n→∞) ならば,wn→a+Bi (n→∞) と考えられます。 だから,複素数列の極限は,wn=In+yniとおけば、2つの実数の数列{zn. {yn}の極限を考えることと同じです.しかし, こうすると2つの数列{x}, {yn}を考えることになり時間が2倍かかります.そこで,この基礎問を通して, {wn}のまま処理して,n→∞のとき, wn の近づく点を求めることを学びまし ょう。 解答 (1)数列{20m は,初項1,公比 1+2 の等比数列だから, +i\n-1 wn=1.1 1 2 +i\n-1 ここで = 4 4 √2 だから、100ml= n-1 2 . n→∞ のとき, |wn|→0 すなわち, n→∞のときwn は原点に近づく . 1+i. 参考 COS 2 = 1/127 (cos 1/4 + i sin 17 ) π 4)より、

S2nの式で、どこから1/n+1が出てきたんですか？ 解説をお願いします🙇‍♀️

基本 例題 125 2通りの部分和 S2n-1, S2 の利用 無限級数 1- 1 11 11 + + 2 2 3 3 + 1 S 4 211 00000 ①について (1) (1) 級数①の初項から第n項までの部分和をSとするとき, S2n-1, S2m をそれ ぞれ求めよ。 (2) 級数①の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 指針 (1) S2m-1 が求めやすい。 S2nはS2n=S2-1+(第2n項)として求める 基本 124 ゆき (2) 前ページの基本例題124と異なり、 ここでは( )がついていないことに注意。 このようなタイプのものでは, S, を1通りに表すことが困難で、(1)のように, S2n-1, S2n の場合に分けて調べる。 そして、次のことを利用する。 ! なる。 021-2()() TЯАНO TRAMO [1] limS2n-1= limS=Sならば limS=S 218 n→∞ [2] lim S27-1≠lim Son ならば n→∞ n→∞ 818 {S} は発散 4章 15 級 数 解答 (1) Szn-1=1-1/2 1 + 1 1 + 1 + -1+1/ 2 3 3 44< n 18-1-(121-1/2)-(12-1) (11) -1 S2n=S2n-1- 1 n+1 1 =1- n+1 (2)(1) から n→∞ n→∞ 24 よって limS=1 limSzn-1=1, limS2n=lim1 81U 81U n+1)=1 したがって, 無限級数 1 は収束して、その和は1 森のときにも①は成り立ち べての自然数について ①は成り立 株式 無限級数の扱いに関する注意点 自 2 ●部分和 (有限個の和)なら ( )でくくってよい。 2 [参考] 無限級数が収束すれば, その級数を、順序を変えずに 任意に( )でくくった無限級 数は、もとの級数と同じ和に 収束することが知られている。

数列の問題です。(2)を自分でやったのですがなぜこの考え方がダメなのかわかりません。

例題 B1.18 の計算 (2) 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ. (1) 1, 1+2,1+2+3, ***** (2) 1-n, 2(n-1), 3·(n-2), 4.(n-3), 考え方 数列の和の計算の基本は、第ん項を求めることである. 解答 (1) 第項ak が ax=1+2+3+....+k のように, 数列{k} の初項から第k項までの和で表されている そのため, 第k項を求める段階でも和の公式を用いる (D) (2) ( (2)2つの数を足すと, 1+n=n+1,2+(n-1)=n+1,3+(n-2)=n+1 より, n+1になるので,第ん項の右の数をxとすると, k+x=n+1より, x=n+1-k これより,第ん項はk(n+1-k)となる. (1)与えられた数列の第k項を求める和をS, とすると, as=1+2+3+…+k=1/2k(k+1) 第項は, よって, Sn=Σak= Road = k=1 n n (1- n 初項 1, 公差 1, 項数kの等差数列 -XS の和 == ½ k (k + 1) = ½ (k² + k) k=1 Σk²+Σk 2k=1 k=1 n Σ(ak+bk) k=1 11 = 26 1 2k=1 mi 11 22n (n + 1) 2' n(n+1)(2n+1)+- =a+b k=1 k=1 12h(n+1)(2m+1)+3)-1/2”(n+1)でく くる. (2)数0.2mn(n+1)(n+2) 26 (2) 与えられた数列の第k項を 求める和をSとすると, 第ん項は, ak=k(n+1-k) (1+8)) 21 よって,S,=24=2kn+1-k)=(n+1)2k-2k k=1 k=1 k=1 k=1 =(n+1) 1/2n(n+1)/1/n(n+1)(2n+1) 1 = — n 6 (n+1){3(n+1)-(2n+1)} 1+2 -n(n+1)(n+2) R) (+RA n(n+1 =1zn(n+1)x3. 12 k(n+1-k) =(n+1)k-k kについての和な のでは定数 12/2n(n+1)