原点を通る三角形の面積公式 こちらの左上の問題の(3)の解説について、この公式って証明なしで用いて大丈夫なんでしょうか？ でも普通に求めようとすると計算が厳しそうで、、何かいい解決方法があったら知りたいです。

12 第1章 式と曲線 基礎問 13 4 双曲線 (II) 双曲線 C:r-y=1 について, 次の問いに答えよ. (1)Cの焦点の座標と漸近線の方程式を求め,グラフをかけ. (2) C上の点P (p, g) における接線が 2つの漸近線と交わる点を Q, R とするとき, Q R の座標をp, gで表せ. (3)原点を0としたとき, △OQRの面積Sは,Pのとり方によらず 定であることを示せ. (i) ① と y=x との交点は px-qy=1 y=x x=y= p-q (ii) ①とy=-xとの交点は |px-qy=1 (p-g0 より) 注 より x=- y=-x 1 p+q p+g - (+40) ゆえに, QRは 第1章 接する P9)2922 (3)の結果は双曲線のもつきれいな性質の1つで、毎年どこかの大学 に出題されているといっても過言ではありません. 一般的には,次 のようになります。 双曲線=1(a>0,6>0) 上の点P (p, g)における接線と2本 の漸近線の交点を Q R とすると, △OQR の面積はPの座標によらず一 定で その値は abになる. この基礎問ができた人は,上のことを証明してみましょう。 手順はまったく 同様です.また,演習問題4にあるように, PはQR の中点になることも知ら れています。 しかしこういうことを丸覚えしても意味はありません. 誘導にしたがって 1段ずつ階段を昇っていけばよいのです。 その際, ハードルになるとすれば (3) で,「どの面積公式を使えばよいのか?」 というところでしょう。頂点の1つが 原点というところがヒントになります。 注 p-g=0, p+g=0 は,P(b,g) が漸近線上にないことからでてく る性質です. (3) S= = = = √(p-a) (p + q) + (pa) (p + q) | (カー -|-4|-1(一定) (p-q=1より) <ポイント ポイント △OAB の面積をSとすると S=1/2√OAPIOBF-(OA・OB) 特に, A (x, y), B(I'z, y/2) のとき S= 142-X2Y1 A A(x₁, y₁) B(2,y2) x 注 IIB ベク 162 参照. 解答 (1) 焦点は (±√20) 演習問題 4 漸近線は±y=0 y=-x y y=x すなわち y=±x よって, グラフは右図. (2) P(p, g) における接線は px-gy=1 ・・・・・・① 2=1 ので (1) 座標平面上の点P(x, y)とF(0, √5) との距離が,Pと直線 4 = 1/15 との距離の √5 一倍に等しいとき,Pの軌跡は双曲線に 75 2 なることを示せ. (2) (1)の双曲線上の任意の点P(p, q) における接線と, 漸近線との 交点を Q, R とするとき, Pは線分 QR の中点であることを示せ.

解説お願いします🙏

実数xに対して、3つの条件,g,rを:2x-7≧x +5,g:lx-al≦2, r:14≦x≦15 とする。 g がかであるための十分条件であり,かつ grであ るための必要条件であるような定数αの値の範囲を求めよ。

画像2枚目のように三角形を分割して解いてみたらACが解答と違いました。なぜでしょうか。

例題 146 空間における測量 思考プロセス ★★ 平地に立っている塔の高さを求めたい。 2つの地点 A,Bの距離は100m であり,地点Aにおける塔の先端Cの仰角が60° ∠BACが75°, ∠ABC が45° のとき, 塔の高さ OC を求めよ。 次元を下げる 立体のまま考えるのは難しい。三角形を抜き出して考える。 逆向きに考える C 条件あり /ACを含む 三角形 条件多い <60° 75゜ 45% A B -100- OC を求める ACか AOが 分かればよい AC は求まるか? /OCを含む) 三角形 正 O B 手がかりなし (AOを含む) (三角形含む) 0 A-100----B 手がかり少ない Action》 測量の問題は, 正弦定理・余弦定理を使える三角形を探せ △ABCにおいて ∠ACB = 180° − (75° + 45°) △ABC において ∠ACB を求める。 = =60° 正弦定理により AB sin∠ACB AC sin∠ABC 600 75-10 45° ~100. B 100 AC sin 60° `sin 45° 200√2 よって AC √3 2 それ 75° 45° 100√6 A 100- B 立体図形のままで考えず に注目する三角形を抜 き出して考えるとよい。 3 N △OAC は直角三角形であるから, 塔の高さ OC は HA IMA CO 100/6 3 I sin 60° AC 50/2 (m) 2 CO° OC = ACsin60° 100√63 3

この問題は画像のような解法の他にありますか？

'en³ (n+1)² - n° (n+1). n +2)}(ひは自然数) 2 は、どんなれのときでも整数であることを示せ。 与式を展開すると、 n² (n+1)² (3n* + bu³-45² 7+ 2) 785. A=n(n+1)=(3+6m²-49-7m+2)とおく。 ママグ、mon(n+1)とおくと、 A=m²(3m²-7m+2)…① mon(n+1)ば連続する2つの自然数なので、ひは 2の倍数である。よって、mは4の倍数となる。 また、(3m-8m+2)について3m²、4m、2はそれぞれ鍋 であるから、com-m+2)は2の倍数となる。 ゆえに、A・(4の倍数)×(2の倍数)×(この倍数)となり、 Aは8の倍数であることがわかる。② 次に、monn()が3の倍数であることを示す。 れを3で割った余りによ場合分けする。 [1]n=3hのとき man (n+1)· 3k (3k+1) より、mは3の倍数。 [2]n=3-1のとき mon (n+1) = (³k-1).3k より、mは3の倍数

解説お願いします🙇‍♀️

3 2 2つの関数f(x)=-x+1, g(x)=xについて,実数全体の集合を全体集合と し,その部分集合 A, B を A={f(x)-1≦x≦2}, B={g(x)|1≦x≦ 3} と 定める。 集合 An B, ANB を求めよ。 例 例題42 桑代十・ [5] 実数全体の集合をRで表し、これを全体集合とする。Rの2つの部分集合 A={x||x-1|<√5},B={x|-k≦x≦k} を考える。 ただし, kは正の定 数とする。 (1) ADBとなるんの値の範囲を求めよ。 (2) A∩BØとなるkの値の範囲を求めよ。 (3) AUBに属する整数の個数が7個となるkの値の範囲を求めよ。 例題32,42 ④ α, xを実数とし, 集合 A = {2, 4, 2x3x-2}, B = {3, x°+ax+a}, C = {1, x2 + (a+1)x-3} を考える。 (1) A = {2,3, 4} となるxの値は である。・・・ | (1 (2) 2 BBCAとなるα, xの値の組 (α, x) は全部で組ある。 (3) B=C となるα, xの値の組は (α,x)=(), () [3]条件とである。 な pl 4 集合にお 意味 のと その反例をは はた ⑤ 集合Uを1から9までの自然数の集合とする。 Uの部分集合 A, B, C が AUB = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}, AUC = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}, BUC = {1, 4, 6, 7, 8, 9}, A∩B ={4,9}, AnC={7}, B∩C={1}, A∩BNC = Ø を満たすとき (1) 集合 A を求めよ。 例題44 (2) 集合 BCを求めよ。 ( 東京国際大) 例題4.3

解説お願いします

連立不等式 ax < 4x-b -2 <2x の解が 1 <x<4であるとき, α, 6の値を求めよ。 (駒澤大) 例題31,34 不等式 3a-2<2x-α <5a を満たす整数x がただ1つであるような整数αの値 を求めよ。 また,そのときの整数xの値を求めよ。 例題32 Stick ある自然数nを4倍して15を引いた後, 7で割ると割り切れなかったため, 小数 第1位を四捨五入するとちょうど77と一致した。このような自然数nをすべて 求めよ。 例題33

解説よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

放物線y=x2-4x+5をx軸方向に a, y 軸方向に-2aだけ平行 移動したところ,点(4, -3) を通る放物線Cに移った. 定数αの値と放物線 C の方程式を求めよ.

解説お願いします🙇‍♀️

1 ) 関数 y=x2-2ax+1/2 (0≦x≦2)の最小値がであるとき, a の値を求めよ. a 1 2

15番の問題についてです。 解説の四行目はどうして全体に-iをかけているのですか？ 教えてくださったら嬉しいです🙇‍♀️

YO 11 ②に代入して 232 3 √3 2 -ai のとき 21-3a+t=3a (3) z+2- t=0 るから ||<1 このときを満たす複素数αは存在しない。 3 [1][2]から a= b=- 32 (4)|22|=2|z-1 6 zz+az+az +10 を満たす複素数が存 在するような複素数αの範囲を図示せよ。 ③nz-a=mz-Bl mn→AB の垂直二等分線 man→ AB の min の内分 点と外分点が直径の両端の円 出題テーマと考え方 ①の3つの解は -T, 22(-1±√31) なくとも1つの実数 をもつ場合、残りの 解である。 15 複素数平面と軌跡 複素数平面上で正三角 なくとも1つの虚数解 出題テーマと考え方 15 W= az+ 72+0 w= の表す図形 → 基本問題 5 2z-1 iz+1 iを虚数単位とする。 複素数平面において,点zが, 2点0, iを結ぶ線分の を満たす点wの描く図形を求めよ。 垂直二等分線上を動くとき, [23 愛媛大] は実数係数の方程式で 共役な複素数と実 一部を正とする。 (2の式)をz=(30の式)の形に変形する。 これをの条件式に代入する。 点zが2点0, iを結ぶ線分の垂直二等分線上を動く から |2|=12-i|... ① ...2 2z-1 10 から (iz+1)w=2z-1 iz+1 17 iは虚数単位とする。 (iw-2)z=-w-1 (w+2i)z=i(w+1) *16 複素数zが方程式 22+(1+2i)z+ (1-2)+4=0を満たしながら動くとき、 |-2|の最大値と最小値を求めよ。 ただし, iは虚数単位である。 (1) 複素数平面上で等式 |3z-42|=2|z-3i を満たす点2の全体はどのような 図形を表すか答えよ。 [18 弘前大〕 面上で1辺の長さが ことから √3a w-2iはこの等式を満たさないから キー2i よって i(w+1) 2= w+2i (2) 複素数zが (1) の等式を満たすとき2+ +/+210 これを①に代入すると √3a 3 (1) ズ i(w+1) i(w+1) w+2i w+2i w+1 1-21 w+2i 10+21 また、そのときのzの値をそれぞれ求めよ。 -2i の最大値と最小値を求めよ。 [19 山口大〕 3 3 *18 zを複素数とする。 z+ が実数であり、3≦z+. -4 となるぇの動く範囲 Z 2 |+1|=|1-2i| 〔17 琉球大〕 1-2i]=√5 である を複素数平面上に図示せよ。 から \w+1=√5 したがって, 点は -1+√√5 点1を中心とする-1-√5/ 19 αを正の実数とする。 -1 -=-1 √5の円を描く。 ただし,点2iを 除く。 12/1/2011/2/1z-alを満たすすべての複素数が |arg (1-z) を満たすようなαの値の範囲を求めよ。ただし, arg(1-2) -2 8 より大きく以下の範囲で考えるものとする。 Ⅰ 複素数平面 〔類 19 早稲田

全くわからないので教えてください！

おくと 2. 2-x- od +1 73 次の式を簡単にせよ。 ただし, nは自然数とする。 (1) 2(-ab)"+3(-1)n+1a"b"+a^(-b)" (2) (a+b+c)2- (a-b+c)2+(a+b-c)2-(a-b-c)2