数Ⅰ順列・組み合わせの問題です。画像参照

基礎問 168 第6章 順列組合せ 104 道の数え方 (1) 右図のような道をAからBまで行くこと を考える。 (最短経路は何通りあるか. (6) (i)のうち,Cを通るものは何通りある か A C (右図のように p, q が通れない道をAか らBまで行くことを考える. 最短経路は何 通りあるか. q P A 代 (1) たとえば,右図の色の線で表される道に D |精講 ついて考えてみましょう。 この道をタテ, ヨコで分割して一列に並べると|, 一, 一, 1, -, 1, -, -となっています. 他の道も「一」 A 5本と 「」 3本を並べかえたものになります. 一例として, ADB2 外の辺をまわる道は|||—————と表せます。 よって、 97 で学んだ じものを含む順列で片付けられます。 あるいは、8個のワク□□□□□□□□のうち、「|」を入れる 所を選ぶ (C3) と考えれば,組合せでも計算できます。 (2) 道が欠けているとき (通ってはいけない道があるとき)の考え方はいろい ろあります。 ここでは2つ紹介します。

（2）の解説について疑問があります。 解説では写真1枚目下部の考え方を元に Cを使って求めているのですが、 解説後半にある 「pとqを通ってAからBへ行く方法」 の場合の数を求める式が 写真3枚目の様にしか考えられず、解説に疑問を持っています。 どなたかなぜ解説のようになる... Read More

(2右図のように p, q が通れない道をAか Bまで行くことを考える. 最短経路は何 通りあるか. q pa A B 精講 (1) たとえば,右図の色の線で表される道に D. ついて考えてみましょう.この道をタテ, B ヨコで分割して一列に並べると|,,- 9 1, -, 1, -, ーとなっています。 他の道も 「一」 A (a) 5本と「|」3本を並べかえたものになります. 一例として, A→D→Bと じものを含む順列で片付けられます. ――と表せます. よって, 97 で学んだ同 あるいは、8個のワク□ 所を選ぶ (C3) と考えれば, 組合せでも計算できます. コロのうち,「|」を入れる3か (2) 道が欠けているとき(通 ないのか い

基礎問数1A　問112（2）の質問です。 問2の解（l）は理解したのですが、解（ll）は全くもって理解できないので、どういうことなのか説明していただけないでしょうか？

184 第6章 順列組合せ 基礎問 ①6/20 ②8/230/6 112 道の数え方 0 (1) 右図のような道をAからBまで行くこと を考える。 (i) 最短経路の数はいくつあるか. (n) (i) のうち,Cを通るものはいくつある か. (2) 右図のようにp, q が通れない道をAか らBまで行くことを考える。 最短経路の数 はいくつあるか。 A q P B B 精講 (1) たとえば, 右図の色の線で表される道に ついて考えてみましょう。 この道をタテ, D B ヨコで分割して一列に並べると |, -, -, 1, -, 1, -, ーとなっています。 他の道も 「一」 A 5本と「」 3本を並べかえたものになります. 一例として, A→D→Bと 外の辺をまわる道は|||————ーと表せます。 よって, 105 で学んだ 同じものを含む順列で片付けられます. あるいは 8個のワク □□□のうち、「|」 を入れる3か所を選ぶ (gC3) と考えれば, 組合せでも 計算できます。 (2)道が欠けているとき(通ってはいけない道があるとき)の考え方はいろい ろあります。ここでは2つ紹介します。 解答 (1)(i)」3本, 「一」 5本を並べると考えて 8! 8-7-6 5!3! -=56 (通り) C でもよい) 3.2 (u) AからC,およびCからBの最短経路の数を考えて, 3! 5! × 2!1!^3!2! =3×10=30 (通り) 同時に起こる場合は積 100

これらの式はどこからきたのでしょうか

168 第6章 順列組合せ 基礎問 104 道の数え方 (1)右図のような道をAからBまで行くこと を考える。 (1) か、 は何通りあるか Cを通るものは何通りある (2) 右図のように p q が通れない道をAか らBまで行くことを考える。 最短経路は何 通りあるか。 p A (2) (解1) pを通ってAからBまで行く最短経路 の総数は 2C1X6C2=20 (通り) qを通ってAからBまで行く道の総数は C2 ×2C1=20 (通り) とを通ってAからBまで行く方法は 2C1×2Ci×2C1=8 (通り) よって,P, qの少なくとも一方を通って, AからBに行く道の総数は 20+20-8=32 (通り) Ppを通る Q:gを通る よって, pもqも通らないでAからBまで行く方法は 56-32=24(通り) (解Ⅱ) 右の上図において、 ある点Zに到達する 道は1つ左の点X経由と1つ下の点Y経由の 2つがあり,それ以外にはない。よって、点X, 点Yに到達する道の数がそれぞれ, 通り,y 通りあるとき, 点Zに到達する道の数は (x+y) 通りある. 169 X → Z +y)通り 通り (1) たとえば、右図の色の線で表される道に D 精講 B ついて考えてみましょう。 この道をタテ ヨコで分割して一列に並べると|, -, - 通り Y , -, 1, -, -となっています。 他の道も「一」 A 5本と 「」 3本を並べかえたものになります. 一例として, A→D→Bと 8 14 17 B 24 じものを含む順列で片付けられます。 -一と表せます. よって, 97 で学んだ同 3 4643 7 よって, 求める道の数は右の下図より 24通り P 2 12 13 A111 1 の口コ のうち、「|」を入れる3 16

問題の⑴と⑵について2つ質問させて下さい！ ①私は⑴でf(x)を場合分けして分かりやすくしたのですが、定義域を表す時<を使わずに全て≦を使いました。答えは<も使っていたのですが、採点される時に私 の定義域の表し方はダメでしょうか？ ②⑵において、(ⅰ)のグラフの傾きが0... Read More

S1 整数方程式と不等式 1 2022年度 〔1〕 0≦a≦b≦l をみたす α bに対し, 関数 f(x)=|x(x-1)|+|(x-a)(x-b)| を考える。 x が実数の範囲を動くとき, f(x) は最小値m をもつとする。 (1) x < 0 およびx>1ではf(x) >mとなることを示せ。 (2)=f(0) またはm=f(1) であることを示せ。 (3)a,bが0≦a≦b≦1 をみたして動くとき,mの最大値を求めよ。 ポイント (1) x < 0 およびx>1のとき, f(x) の式の絶対値をはずすとxの2次関数 となるので, グラフの軸の位置を調べてf(x) >mであることを示す。 (2) 0≦x≦aおよび b≦x<1のときとa<x<bのとき. f(x) の絶対値をはずすと, そ れぞれxの1次関数,xの2次関数となる。 1次関数のグラフの直線の傾きによって場 合分けをすると, m=f(0) またはm=f(1) を示すことができる。 (32)の場合分けを用いて考えていく。 〔解法1〕 場合分けの不等式を用いて2変数関 数の最大値として求める方法, 〔解法2] 不等式の表す領域を図示して考える方法, 〔解 法3〕 相加平均と相乗平均の関係を利用する方法などがある。 解法 1 (1) f(x)=|x(x-1)+(x-a)(x-b), 0≦a≦b≦1より x < 0 およびx>1のとき f(x)=x(x-1)+(x-a)(x-b) =2x²- (a +6+1)x+ab = 2(x = a + b + ¹)²_ (a+b+1) 2 8 グラフの軸の方程式は, x= a+b+1 4 0≦a≦b≦1より + ab 1_a+b+] 4 はx<0のとき単調減少, x>1のとき単調増加となるの 3 となる。 Level C であるから, f(x) Oa+b+1 4 で, 最小値はもたない。 f(x)は連続関数で最小値がmであるから,x< 0 およびx>1ではf(x) >mとなる。 (証明終) (2) 0≦x≦aおよび b≦x≦1のとき f(x)=-x(x-1)+(x-a)(x-b) =(1-a-b)x+ab a<x<bのとき f(x)=-x(x-1)- (x-a)(x-b) =-2x² + (a+b+1)x -ab - 2(x_ a + b + ¹)² + . a+b+12 4 (i) 1-a-b≦0 すなわちa+b≧1 のとき 0≦x≦a および b≦x≦1のとき, f(x)のグラフの傾き は0以下であるから, f(x) は単調減少または一定であ る｡ a<x<bのとき, f(x)のグラフは上に凸である。 よって, 0≦x≦1におけるf(x)のグラフは右図のよう になるので,この範囲における最小値は,α+6>1 のと き (1), g+b=1のとき(0)=f(1) となる。 (ii) 1-a-b>0 すなわち a +6 <1のとき 0≦x≦a および b≦x≦1のとき, f(x) のグラフの傾き は正であるから, f(x) は単調増加である。 a<x<bのとき, f(x)のグラフは上に凸である。 よって, 0≦x≦1におけるf(x) のグラフは右図のよう になるので,この範囲における最小値はf (0) となる。 (1) の結果と(i), (i)より, m=f(0) またはm=f(1) であ O ( 証明終) る。 [ab-a-b+1 (a+b≥1) (a+b<1) (3) (2)の結果より,m= (i)a+b≧1 のとき (a+b+1) 2 -- ab 8 ab となる。 m=ab-a-b+1=(a-1) b-a+1 ここで, αを固定してbを1-α≦b≦1の範囲で変化さ せたときのmの最大値をM(α) とすると, a-1≧0よ り, b=1-αのとき M (a) = (a-1) (1-α)-α+1=-α+α となる。 J'A O YA a a 1-a b b I 1 x b

指針の部分の金額が最も大きい500円の枚数Xで場合分けすると、分け方が少なくてすむというのはどういうことですか。あと、解答の部分の丸しているゆえにの後の部分はどうやってこの式になったのですか。

基本例題 10 支払いに関する場合の数 00000 500円,100円,10円の3種類の硬貨がたくさんある。この3種類の硬貨を使っ 1200円を支払う方法は何通りあるか。ただし, 使わない硬貨があってもよ いものとする。 基本7 指針 支払いに使う硬貨 500 円,100 円,10円の枚数をそれぞれx,y,zとすると 500x+100y+10z=1200 (x,y,zは0以上の整数) この方程式の解 (x,y,z) の個数を求める。 ...... 金額が最も大きい 500円の枚数xで場合分けすると, 分け方が少なくてすむ。 支払いに使う 500円 100円 10円硬貨の枚数をそれぞれ 解答 x,y,zとすると, x,y,zは0以上の整数で 500x+100y+10z = 1200 すなわち 50x +10y+z=120 不定方程式 (p.569~)。 ゆえに 50x120- (10y+z) ≦120 y≧0, z≧0であるから これを満た 50x≤120 す0以上の整数を求める。 よって 5x≦12 x=0, 1,2 xは0以上の整数であるから [1] x=2のとき 10y+z=20 この等式を満たす0以上の整数y, zの組は (y,z)=(2,0),(1,10),(0, 20) の3通り。 [2]x=1のとき 10y+z=70 この等式を満たす0以上の整数y, zの組は (y, z)=(7, 0), (6, 10), ………, 0, 70 の8通り。 [3] x=0のとき 10y+z=120 この等式を満たす 0 以上の整数y, zの組は (y,z)=(12,0),(11,10), ****, (0, 120) の13通り。 [1], [2], [3] の場合は同時には起こらないから, 求める場 合の数は 3+8+13=24 (通り) 10y=20-z≦20 から 10y 20 すなわち y≦2 よって y=0, 1,2 10y=70-z70 から 10y≦70 すなわち y≦7 よって y=0, 1, …, 7 10y=120-z120から 10y≦120 すなわちy≦12 よって y=0,1, …, 12 和の法則 すべての種類の硬貨を使う場合の考え方 検討 もし、上の問題で 「すべての種類の硬貨を使う」とあった場合は,次のように処理できる 条件を先に片付けておくと, 数値が簡単になって処理しやすくなる。 ①3種類の硬貨をすべて使う- →1200円から, 500円 1枚, 100円 1枚, 10円1枚を除 いた 1200-(500+100+10)=590 (円) について考える。 ② 590円の90円は10円硬貨で支払う→更に10円9枚を除くと 590-9×10=500(円) 後は,500円を支払う方法(使わない硬貨があってもよい)を考えると 500円 1枚のとき, 100円 10円とも0枚の1通り。 500円 0枚のとき, 100円, 10円の枚数をそれぞれα, bとすると (a,b)=(0,50) 1,40) (2,30) (3,20), (4,10 (50) の6通り。 したがって, 合計で7通りある。 練習 10ユーロ, 20ユーロ,50ユーロの紙幣を使って支払いをする。 ちょうど200ユー ③10 口を支払う方法は何通りあるか。ただし、どの紙幣も十分な枚数を持っているもの とし, 使わない紙幣があってもよいとする。 [早稲田大〕 p.357 EX9、 347 1 章 章 2 場合の数

例えばなんですけど512って青のとこに当てはまると思うんですが4の倍数になっちゃうじゃないですか。 どこの解釈が間違ってるのかわかりません…(そもそも〔2〕の場合分けがよく理解できてません…汗)

大,中,小3個のさいころを投げるとき, 目の積が4の倍数になる場合は何意 310 OOO0 基本 例題9 (全体)-(…でない)の考えの利用 基本例 500円,10 て,1200円 [東京女子大) あるか。 本) 指針>「目の積が4の倍数」を考える正攻法でいくと,意外と面倒。そこで、 (目の積が4の倍数)=(全体)-(目の積が4の倍数でない) . として考えると早い。ここで, 目の積が4の倍数にならないのは, 次の場合 11] 目の積が奇数→3つの目がすべて奇数 [2] 目の積が偶数で, 4の倍数でない一偶数の目は2または6の1つだける ものとする 指針> 支払い この解 *……… 金 早道も考える (A である)=(全体)-(A でない)の技活用 CHART 場合の数 解答 支払いに使う zとすると, 500x+10 解答 く積の法則(6° 目の出る場合の数の総数は 目の積が4の倍数にならない場合には,次の場合がある。 [1] 目の積が奇数の場合 3つの目がすべて奇数のときで [2) 目の積が偶数で,4の倍数でない場合 3つのうち, 2つの目が奇数で,残りの1つは2または6の目 であるから [1], [2] から,目の積が4の倍数にならない場合の数は 6×6×6=216(通り) と書いても、 い。) ゆえに Dxは0以上の [1] x=2の この等式を (y, z [2] x=1 の この等式を (y, z [3] x=0 の この等式を (y, z 奇数どうしの積は奇数。 1つでも偶数があれ頃 は偶数 になる。 3×3×3=27(通り) 0O O 44が入るとダメ。 (3×2)×3=54 (通り) 27+54=81 (通り) <和の法則 よって,目の積が4の倍数になる場合の数は 216-81=135 (通り) (全体)-(…でない) 検討)目の積が偶数で,4の倍数でない場合の考え方 上の解答の[2] は,次のようにして考えている。 大,中,小のさいころの出た目をそれぞれ○, △, □とすると, まず右の図のような場合が考えられる。2または6の入る場所 は, ○または△でもよいから, 目の積が偶数で, 4の倍数でな い場合の総数は 目の積が4の倍数になる場合の数を直接求めると,次のようになる。 (i) 3つの目がすべて偶数→ 3° 通り (i) 2つの目が偶数で,残り1つの目が奇数→(3°×3)×3通り () 1つの目が4で, 残り2つの目が奇数 数は 検討)す~ もし,上の 先に片付け 03種類 大 中 小 8 0 1 (3×3×2)×3 奇数 奇数 (3通り)×(3通り)× (2通り) 2または 2 590円 後は,500 500円1枚 合わせて → (1×3°)×3通り 27+81+27=135 (通り) 500円0枚 練習| 大,中,小3個のさいころを投げるとき, 次の場合は何通りあるか。 (1) 目の積が3の倍数になる場合 (2) 目の積が6の倍数になる場合 したがって 練習 10: 10 ロを p.321 EXS のと 写真を使用 ロ

緑線のとこなんでこうなりますか？

P C 0 -1 1 > x A 0 1 (1) P, Qは単位円C上の点で,線分 OP, OQ と x軸 の正の部分のなす角はそれぞれ 0, 20であるから, キt p(cos0, sin0), |0 O Q(cos 20, sin20). 6 (2) L=AP?+AQ? き = (cos@-1)?+sin°e +(cos20-1)+sin?20 2cos20 COS 2 |cos 0 +|4 - 日

数A 場合の数です。 解答の4行目での≦120がいる理由を教えてください。

て, 1200円を支払う方法は何通りあるか。ただし,使わない硬貨があってもよい 指針>支払いに使う硬貨500円, 100円, 10円の枚数をそれぞれx, y, zとすると 500円0枚のとき, 100円, 10円の枚数をそれぞれa, bとすると 基本(例題10 支払いに関する場合の数 31 ものとする。 合である。 基本7 500x+100y+10z=1200 (x, y, zは0以上の整数) この解(x, y, 2)の個数を求める。 金額が最も大きい 500円の枚数xで場合分けすると, 分け方が少なくてすむ。り 1 めで、他は からxの値を絞り,場合分けをする。 場 解答 お払いに使う 500円, 100円, 10円硬貨の枚数をそれぞれx, y, えとすると,x, y, zは0以上の整数で 自 500x+100y+10z=1200 すなわち 50x+10y+z=120 50x=120-(10y+z)<120 の 不定方程式(.515~)。 と書いても イy20, z20 であるから これを満た ゆえに よって 5x<12 『xは0以上の整数であるから [] x=2 のとき この等式を満たす0以上の整数y, 2の組は (y, z)=(2, 0), (1, 10), (0, 20)の3通り。 [2] x=1のとき この等式を満たす0以上の整数 y, 2の組は (y, 2)=(7, 0), (6, 10),………, (0, 70) の8通り。 [3], x=0 のとき x=0, 1, 2 50xS120 さ間 の積は奇議、 島数があれは味 こる。 す0以上の整数を求める。 10y+z=20 (10y=20-zハ20 から に 10yS20 すなわち y<2 よってy=0, 1,2 ゴメ。 10y+z=70 中の 、 (10y=70-zハ70 から 10y<70 すなわち y<7 よって y=0,1,…, 7 10y+z=120 この等式を満たす0以上の整数 y, zの組は (y, 2)=(12, 0), (11, 10), , 12], [3] の場合は同時には起こらないから,求める場合の (10y=120-2ハ120 から 10y<120 すなわち y<12 よって y=0, 1,…, 12 ……, (0, 120)の13通り。 こなり 数は 和の法則 3+8+13=24 (通り) のグ 使討すべての種類の硬貨を使う場合の考え方 もし,上の問題で「すべての種類の硬貨を使う」とあった場合は, 次のように処理できる条件を 先に片付けておくと,数値が簡単になって処理しやすくなる。 3種類の硬貨をすべて使う →1200円から, 500円1枚, 100円1枚, 10円1枚を除いた 1200-(500+100+10)=590 (円)について考える。 90円の90円は 10円硬貨で支払う →更に10円9枚を除くと 590-9×10=500(円) は, 500円を支払う方法(使わない硬貨があってもよい)を考えると 2またなけ (2, b)=(0, 50), (1, 40), (2, 30), (3, 20), (4, 10), (5, 0) の 6通り。 したがって、合計で7通りある。

この問題って数え上げていく以外の解き方ありますか？

ロ★★ 67 1 x2+ y?<9, yZx? を満たす整数の組 (x, y)は全部で何個あるか。(15点)