微分についての質問です。一枚目の写真で青マーカーを引いたところには、「三次不等式はグラフを利用して求める。極値を求める必要はない。」とありますが、例題212.213では極値を出して解いている気がします。 ・なぜ例題212.213では極値を出して、例題216では極値を出して... Read More

2 406 第6章 微分法改 練習 [216] **** 7956 く 50 785 2210 196 例題 216 三角不等式 **** cos 30 + cos 20+ cos >0 を満たす0の値の範囲を求めよ.ただし, 0≦02 考え方 解答 とする. 例題 212(p.402) と同様にして3次関数のグラフとx軸の位置関係を考える. まず cosa=t とおき,tの3次不等式を作る cost とおくと,002πより、 また, cos30=4cos0-3cos0=4t-3t cos 20=2 cos 0-1=2t2-1 4t3+2t-2t-1>0 したがって, 与式は, (4t-3t) + (2-1) +t>0 2t2(2t+1)-(2t+1)>0 (2t+1)(2-1)>0 ...... ② (2t+1)(2-1)= 0 とすると, tの値の範囲に注意 与式の左辺を cosで 統一する。そのとき 倍角,2倍角の公式を 利用する. ((p.269 参照) 組み合わせを考えて, 因数分解する。 [解] Commen ここ こで, 2 線が一致 200 とし, 線をも この √2 1 1 t=- 0 2' √2 2 y=4t+2t-2t-1 のグラフは, 右の図のようになる. したがって、②の解は、 ①より RD 3次不等式はグラフを 利用して考える. 極値 を求める必要はない。 30 1 <t≦1 √2 2√2 よって,t=cos 0,0≦02 より 0≤0< 単位円を利用して8の 範囲を求める. て π 第3,4象限の解と第2, 2 3 147 4 1 √2- 1象限の解は,それぞ 例 0 5 << 27 << れx軸に関して対称 10 1 x 43 7 3π 1 4π 注〉和積の公式を用いて次のように解くこともできる. (p.274 参照) ( cos30 + cos 0) + cos20>0 2 cos 20 cos 0+ cos 20>0 cos 20 (2 cos 0+1)>0 (2cos'0-1)(2cos0+1)>0 ここで, cosa=t とおくと, cosA+ cosB=2cos- A+B A-B COS 2 2 (2t2-1)(2t+1)>0 あとは、例題216と同様にして解けばよい. tan 20 + tan00 を満たす 0 の値の範囲を求めよ。ただし,0≦02 とする. 次

黄色マーカーのところで、なんでここを掛けているのかがわかりません。教えてください！

④チャレンジ [金沢大] αを実数の定数とする。 xの2次方程式x2+(a-1)x+a+2=0 .... ①について 次の 値の範囲を求めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 (1) ① 0≦x≦2の範囲に実数解をただ1つもつときの値の範囲 含める (2) -2≦a≦-1 のとき, ① の実数解xのとりうる値の範囲 (1) ① の判別式をDとし, f(x)=x2+(a-1)x+a+2 とすると D=(a-1)2-4(a+2)=(a+1)a-7), F(x) = (x + ª−¹)²_ (a+1)(a−7) 4 ①0≦x≦2の範囲に実数解をただ1つもつための条件は,次の [1]~[3] のいずれか が成り立つことである。 [1] 0≦x≦2の範囲に重解をもつ このとき D=005-¹2 D = 0 すなわち (+1)a-7)=0から a=-1,7 a-1 0≤-92¹≤245 -3≤a≤1 a-1 [2] 0<x<2の範囲に重解ではないただ1つの実数解をもつ このとき f(0) ƒ(2) <0 よって (a+2x3a+4) <0³5 -2<a<-- [3] 0≦x≦2の範囲にx=0 またはx=2のいずれか一方のみを解にもつ (i) x=0を解にもつとき a=-2 このとき 他の解は x=3 (これは適する。)←x2+(-2-1)x+(-2)+2=0 (ii) x=2を解にもつとき 4 a=- 3 よって, a=-1 が適する。 このとき、 他の解は =1/3 (これは不適。) x= 4 よって -25a<-. [1]~[3] より 求めるαの値の範囲は (2) ①から (x+1)a+x2-x+2= 0 g(a)=(x+1)a+x2-x+2 とおくと, -2≦a≦-1のとき, ① を満たす実数xが存在 するための条件は g(-2)g(-1)≦0 すなわち x(x-3xx-1) ²0 別解 ①から a(x+1)=-x2+x-2 よって、 2次方程式①の解は,y=a(x+1) とy=-x2+x-2のグラフの共有点のx 座標である。 a= a=-1 x²-3x = 0 0≤x≤3 x(x-3)=0 (1) 2次方程式 ① の判別式をDとおくと よって, D=0 のとき a=-1, 7 ゆえに、 2次方程式 ①の重解は a=-1のときx=1, a=7のとき x=-3 4 x=2を解にもつとき, 34+4=0から D=(a-1)2-4(a+2)=(a-7Xa+1) x=30

オリスタ138(1) なぜマーカー部分のような場合分けになるんですか？ [1]の増減表のf'(x)の＋、ーの考え方を教えてください。 あと、なぜ偶関数と分かるんですか？

138a, bを実数とする。 f(x)=2√1+x-ax2 とし, x についての方程式 f(x) = b を考える。 (1) a>0 のとき, 関数f(x) の最大値を求めよ。 (2) 方程式 f(x) = 6 の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (α, b) の 範囲を図示せよ。 [16 金沢大〕

赤線部って何をやってるんですか？

1 (1) x>0のとき、不等式2/23(x+2/2/27) 221 ≧23を示せ。 また等号が成り立つのはどのようなときか. (n=1, 2,3,...) で定める. (2) 数列{an} を, a1=2, an+1= (₁ 2 ant 3 1 (i) n ≧1 のとき, an> an+1>2を示せ. (i) n ≧2のとき, an+1- <²/3 2 2 an *+113502 また, an-an+1=an 3 2 よって, an> amt12/3/3 13-151 2.1 2 \n-1 (i) n≧1のとき, O<an+1- ( 12/3 ) 11 を示せ. 2 【 an an (2) (i) >2才と (1)より、帰納的に+1 2 2,2) 2 an+1 <kan k>0, an>0のとき, an+1 <kan をくり返し用いて, an<kn-la」 を導くことができる. 不等式の証明 A>Bを示すには, A-B>0を示すことを目標にするのが基本方針. 4 508- ■解答言 1 (1) 与式の分母を払い, 2x3-3.23x2+2≧0. これを示せばよい. 左辺を因数分解して, (x-21 ) 2 (2+2号) x>0のとき, ①≧0 (等号はx=23) であるから示された. 11th you! an-1 を示せ. 1 an3-2 -³ (a + = =) = ²2-2² >0 (²:4>2²) an>23) 2 an 3an² 1 2 + ²/² (a₁ + - 1²/27) > 2 ³ an 別 (金沢大・文系) 11 ・①t=23 とおくと, 2_212)^2/(cm-22 an *)$ 2x3-3tx2+3=(x-t) (21 AGO)(O) 3 よって, an>2/3/ (n≧1)が つ これを帰納法で示すと 0<an <an-1より,

空間ベクトルについての質問です。 紫のマーカーの部分なのですが、なぜPP0とQ0QはいずれもP0Q0に垂直になるのでしょうか？

105 直線1: (x,y,z)=(5,0,0)+s(1, -1, 0) 上に点Po, IVO OU UM=110, MI 直線m: (x,y,z) = 0, 0,2)+t(102)上に点Q があり, PQ はベクトル (1, -1, 0) と (1, 0, 2) の両方に垂直である. 次の問いに答えよ. (1) Po, Q の座標を求めよ. NOVA (2) [PQ を求めよ. (3) 直線l上の点P, 直線上の点Qについて, PQ を PPo, PoQ0 QoQ で表せ. また,|PQ|2=|PP+QQI2+16 であることを示せ. (金沢大) 思考のひもとき U·UU また, PPo, QaQ はいずれもPQ』に垂直であるから! PP, PoQo = 0,Q,QP,Qo=0① したがって |PQ|2=|(PP+QQ)+PoQ012 12 =|PP+QQ|2+2(PP+QoQ)・PoQo+ | PoQo|2 = |PoQo|2=16 (2) より ①より (PP+Q0Q)・PoQ=PP・PoQo+QoQ・PQ=0 よって |PQ|2=|PP+QQ|2+16 □

複素数平面、ド･モアブルの定理の問題です。 (4)について。 2枚目のマーカー部分で、2つの方程式を比べて赤の下線部の式同士を=で繋げていると思うのですが、この方程式は元々z^5=0の変形でz-1=0がいえるため、赤の下線部が=で必ずしも結べる訳では無いのでは…と思ってしま... Read More

00 ((1)~(3)金沢大 重要 例題171の5乗根の利用 複素数 α (α+1)を1の5乗根とする。 1 +-=0 であることを示せ。 1 Q? (2)(1)を利用して,t=α+aは+t-1=0 を満たすことを示せ。 2 (3)(2)を利用して, cos πの値を求めよ。 果 2 =ェ+isinー元とするとき, (1-α)(1-α")(1-α')(1-α*)=5である 2 (4) α=cOS 5 ことを示せ。 基本 15

この問題の場合分けが解説を読んでもよく分かりません。なぜ1/4や3/4でも分けるのでしょうか...🥲

CHECK2 | 関数f(x) (0Sxs1) が次のように定義されるとき、合成関数 y=ft) とおいて考えるといい。っまり, 中継点tを考えるんだね。すると、x切 y=f(Ax))のグラフを求めるために, これを分解して1=fx), 難易度、、 CHECK | 演習問題 33 CE この y=f-f(x) (0Sx<1)のグラフを xy 座標平面上に描け、 (0ニェsのとき) で はた 2x りに場 f(x) = - 2.x+2 (ラミxs1のとき) (金沢大 以上よ ヒント! 区間を4つに分けないといけなくなる。 解答&解説 ココがポイント 図1 y=fx)のグラフ 2x y=f(x) = 1 (道 - 2x+2 (号sx51) yミ- y=2x よって,y=f(x) のグラフは図1のようになる。 次に,合成関数y=f((f(x)) は, 次のように中継点 tをとって考えると, 01 1 2 1,x 図2 t=f\x)のグラフ 中継点 t3D2x) 1=f(x) x -y t= -2x+| -y=f(G(x)) 2 0Ss。 t= f(x) ··0 1v=f(t) 図2に,t=f(x) の,また図3に, y=f(t) の グラ 0 1131 424 X .② に分解できる。 Srs( 0SxS フを示した。ここで, 図3のグラフから, ss)s) 図3 y=ft) のグラフ (ア) 0StS;のとき, y=2t y 11 y=2t (イ)stS1のとき, y=-2t+2 となる。 アミ-21+1 0 1 110 0StS

矢印の変形が分かりません

4) α=1 であるから, k=1, 2, 3, 4, 5 に対して (a*)°=(α®)*=1*=1 が成り立つ。 よって, α* (k=1, 2, 3, 4, 5)は方程式 2%3D1の解である。 ここで, α, α", α", α", α* (=D1)は互いに異なるから, 5次 方程式 25-130の異なる5個の解である。 ゆえに, すなわち -1=(z-1)(z-a)(z-e)(z-α')(z-a*)と 因数分解できる。-1=(z-1)(z+2°+z°+z+1) である (z-a)(z-α")(zle")(2-α*)=z*+z°+z?+z+\ 25-1=(z-a)(z-α")(z-α")(z-e*')(z-α') 5 から 両辺に2=1を代入して (1-a)(1-α)(1-e)(1-α*)=5 別解(与式)= (1-a)(1-α*)×(1-e)(1-α") =(1-α*-α+a)(1-α'-α"+α) ={2-(α+α*)}{2-(α°+α°)} =2°-(α*+α°+α"+α)·2+α°+αt+a°+α =4-(-1)·2+α°+α*+α+α°=6-135

139教えてください

ある。 (1) f(x) の最大値と最小値およびそのときのxの値を求りよ。 (2) 方程式 S(x)=a の異なる実数解が2個であるとき, aの範囲を求めよ。 ただし,a>0 とする。 キ 点 (19 甲南大) 138 a, bを実数とする。f(x)=2/1+x°-ax° とし, xについての方程式 f(x)=b を考える。 (1) a>0 のとき, 関数f(x) の最大値を求めよ。 (2)方程式 f(x)%3D6 の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点(a, b)の 範囲を図示せよ。 (16 金沢大) log x *139 f(x)= (x>0)とする。 x (1) f(x)の増減を調べ, 極値を求めよ。 (2) y=f(x) のグラフをかき, 方程式 f(x)=Dk が2つの異なる解をもつような 定数んの範囲を求めよ。ただし, limf(x)=0 は用いてよい。 x→0 (3) aを正の定数とする。 方程式 x"=α" (x>0) がaより大きい解をもつよう なaの範囲を求めよ。 (13 東京電機大) ail (e) 140 y=x で表される放物線を C, 正の数aに対して y=ae* で表される曲線 を C。とする。 (1) Cと C。の両方に接する直線の本数を調べよ。ただし,必要ならば t lim-=0 であることを用いてもよい。 t→0 pt (2) Cと C。の両方に接する直線がちょうど1本であるとき、 Caの ちょうど2点となることを示せ。

137教えてください

23 方程式への応用 基本問題 & 解法のポイント 37 aを実数として, 方程式 2x°-3ax"+8=0 が 0SxS3 の範囲に少なくとも1個の実数解 をもつように,aの範囲を定めよ。 38 多項式f(x) について, f(x) が (x-α)° で割り切れるとき 方程式の実数解の個数 グラフの共有点の個数を調べる。 (関数の増滅を利用) 例題 19 整方程式の重解条件 f(x)=0 が m重解αをもっ →f(x)=(xーe)"g(x), g(x) は多項式, g(α)20 指針 解答 f(a)=f"'(a)=0 であることを証明せよ。 は, のク A fC f137 f (x)3De"*sinx(ただし, x>0)であるとする。 ここで, eは自然対数の底で ある。 (1) f(x) の最大値と最小値およびそのときのxの値を求めよ。 (2) 方程式 f(x)=a の異なる実数解が2個であるとき, aの範囲を求めよ。 ただし, a>0 とする。 (19 甲南大) 138 a, bを実数とする。f(x)=D2/1+x°-ax° とし, xについての方程式 f(x)=Db を考える。 (1) a>0 のとき, 関数f(x) の最大値を求めよ。 (2) 方程式 f(x)=6 の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (a, b)の 範囲を図示せよ。 (16 金沢大) 139(x)= logx (x>0)とする。 X (1) (x)の増減を調べ, 極値を求めよ。