この130の問題の特に(2)とかはそうなのですが、nを用いて一般化する問題で、こういう図形の問題を考える時めちゃくちゃ考えずらくないですか？nを用いられてるので図形を書いて可視化するみたいなこともやりずらそうですし、そういう場合どういう考え方で問題に取り組めばいいですか？

582 基本 例題 130 図形と漸化式 (1) ･･･領域の個数 8500000 平面上に、どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。 次の場合、 平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。 (1) どの2本の直線も平行でないとき。 (2)n(n≧2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。 指針▷ (1) n=3の場合について,図をかいて考えてみよう。 解答 n [類 滋賀大] n=3 1ℓ2 a2=4(図のD1~D4) であるが,ここで直線 l を引くと, ls は l l と2点で交わり,この2つの交点で l3 は3個の線分また は半直線に分けられ, 領域は3個(図のDs, De, D7) 増加する。 よって a=a2+3 DS D₁ D3 D6 D₁ D2 D |43=7 同様に番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。 n本の直線によって α 個の領域に分けられているとき,(n+1)本目の直線を引くと領 域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。 (2)(n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる から (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。 (1) 本の直線で平面が αn 個の領域に分けられているとする。 (n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のη本の直線で (n+1) 個の線分または半直線に分けられ, 領域は (n+1) 個 だけ増加する。 ゆえに an+1=an+n+1 よって an+1-an=n+1 また a=2)s 数列{az} の階差数列の一般項はn+1であるから, n≧2の 人 (n+1) 番目の直線はn本 の直線のどれとも平行でな いから,交点はn個。 基本例 ZXPY (=60 PX, PY お。 同様にして (1)円O㎜の (2)円Oの 指針 (1)円O このとき (2)等比数 CHART 線 解答 右の図のC OnOn+ OnH= LOO+1H=30 On On+1 よってrn+rn ゆえに n+1=- よって、数列{r 1 rn= n-1 n2+n+2 とき an=2+2(k+1)= k=1 2 n-1 k=1 (+1)=+ これはn=1のときも成り立つ。 = 11 (n-1)n+n-1 (S+ S+2 D ゆえに、求める領域の個数は n²+n+2 2 (2)平行な直線のうちの1本をℓとすると, l を除く (n-1) 本は(1)の条件を満たすから,この(n-1) 本の直線で分けら れる領域の個数は (1) から an-1 S+S2+...... + 更に、直線 l を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の 直線と (n-2) 個の点で交わり (n-1) 個の領域が増える。 よって, 求める領域の個数は (1)の結果を利用。 1 は (1) annの an-i+(n-1)=(n-1)+(n-1)+2 2 +(n-1)=- n²+n 2 代わりに n-1とおく。 直線 y=ax 軸に垂線 A 更に、点 Az ③ 130 では交わらない n個の円がある。 これらの円によって,平面は何個の部分に分け 平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり,また, 3つ以上の円は同一の点 練習 られるか。 けて、線分 nとする。 (1) In n (

質量パーセント濃度が34%の濃アンモニアNH3(密度0.9/cm^3)のモル濃度の求め方を教えてください🙏

青チャート3 練習60（2） なぜlimx→+0 2^tから考えるのですか？？

練習 次の関数は,x=0において連続であるか,微分可能であるかを調べよ。 ②60 (1) f(x)=|x|sinx (1) limf(x)=limxsinx = 0, x1+0 x+0 limf(x)=lim(-xsinx) = 0 x-0 ゆえに x-0 x→0 0 (x=0) [類 島根大 ] (2) f(x)={ x (x+0) 1+2 x(x≧() のとき) ←|x|= xx0 のとき) limf(x)=0 3 また f(0)=0 よって limf(x)=f(0) 練 x→0 したがって,f(x)はx=0で連続である。 また lim f(0+h)-f(0) lim hsinh–0 検討 微分可能 ⇒ ん→+0 h ん→+0 lim 0-14 f(0+h)-f(0) h =lim h→-0 -hsinh–0 h ん→+0とん → - 0 のときの極限値が一致し, f'(0) = 0 と なるから,f(x)はx=0で微分可能である。 連続であるから,まず x=0で微分可能である ことを調べ,その結果を 利用して, 「x=0で連続 である」と答える解答で もよい。 mil = lim sinh=0 ん→+0 lim(−sinh)=0 h➡-0 (2) - =t とおくと x lim2=lim2=8, x+0 0017 lim2=lim2=0 x-0 8117 2)+(5 x =0, limf(x) = lim よって x+0 ゆえに また 28300 x+01+2x limf(x)=lim x-0 limf(x)=0 x→0 f(0)=0 x -=0 x-01+2x 2 (S)- limf(x)=f(0) よって x→0 したがって, f(x) はx=0で連続である。 次に, h≠0のとき f(0+h)-f(0) 1 h = • = h h 1+2 1+2 lim ん→+0 h lim h--0 = =lim h f(0+h)-f(0) f(0+h)-f(0) h++01+2h 1 h→01+2 ん→+0 とん→0 のときの極限値が異なるから,f'(0) は 1 = lim =0 1 ( mil =1 存在しない。 SLS すなわち, f(x) はx=0で微分可能ではない。 ++(a+1) ←底2>1である。 ← 8 -の形。 0 ← 1+0 ←ん→+0のとき sa 1 →8 h よって2→∞ また, h0 のとき 1 81∞ h よって

採点と空白の問題の解説をお願いしたいです。 よろしくお願いしますm(_ _)m

2x 19 8 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 (1) y=5sinx +12cosx Fase 144 5169-13 最大13 最小 13 0≦x<2のとき、 次の方程式を解け。 (1) V3sinx+cosr=1 12. in (x^). 24h (2) y=sinx-3cosx Texa - Foo What too fast [to (2) sinx+V3cosx+3=0 | 5 Tit 2 aint cos 1/2 10 和と積の公式を用いて, 次の値を求めよ。 (1) sin 75°cos 15° (amgor. =(1)当 20 (3) cos 105° sin 75° F3 26m (+) GM (+1) 3 2 Te a 3 3 (2) cos75°cos 15° +(90-cos 60°) +601 (4) sin 105° + sin 15° Za (cos (20° cos 90°) 1/12(11/20) (5) sin 75°- sin 15° 2004 90° x 914 600 2 4 (6) cos 105°-cos 15° 2 Gih (20° 900 Ginh. 2 2 2x x 2 12x 2 x

(2)番についてです。6≦2a+5<7でなく6<2a+5≦7になるのはなぜですか？

54 基本 例題 31 1次不等式の整数解 00000 (2) 不等式 5(x-1) <2(2x+α) を満たすxのうちで,最大の整数が6であ (1) 不等式 6x+8(4-x) 5 を満たす2桁の自然数xをすべて求めよ。 るとき、定数αの値の範囲を求めよ。 CHART SOLUTION 1次不等式の整数解 数直線を利用 まずは、与えられた不等式を解く。 (1)不等式の解で、2桁の自然数であるものを求める。 基本で (2)不等式の解が、x<A の形となる。ここで,x<4を満たす最大の整数が6 であるということは, x=6 は x<A を満たすが, x=7 は x<A を満たさないということ。これを図 に示すと右のようになる。 A ズーム UP 不等 問題 m, nh max 例 (1) 6x+8(4-x)>5から ゆえにx2=13 -2x-27 2桁 -=13.5 は2桁の自然数であるから 14 10≤x≤13 10 11 12 13 13.5 x よって x=10, 11, 12, 13 (2) 5(x-1)<2(2x+α) から x<2a+5 ◆展開して整理。 ◆不等号の向きが変わる。 ◆解の吟味。 $3000 S 例 [1] 2 ① ◆展開して整理。 ①を満たすxのうちで最大の整数が6となるのは 6<2a+5≤7 のときである。 1<2a≤2 よって 1/12kas1 3 _RACTICE... 31 ③ 1) 不等式 x+ 2) 不等式 5(m 15 3 ① 6/2a+5<7 とか (6≦2a+5≦7 などとい 6 2a+57 x ないように等号の有無 に注意する。 注意 2 5-2 2 を満たす ①を満たす最大の整数 JO $50 > ◆α=1 のとき, 不等式は <7で、条件を満たす a = 1/2 のとき,不等式 $30 s> p <6で条件を満たさ ない。 ない」と答える 34 (2)-[0] 注意

この解き方もっと分かりやすくしてくれる方いませんか😭😭

78 問題 5 12/12 (AM+AN)r=122 が成り立つ。 すなわち (3√2+3√2)r=1.6.3 130 よって 3√√2 r= 2 正四角錐 A-BCDE の高さは12, 底面の正方形の1辺の長さは10であ る。この内部にある球が正四角錐のすべての面に接しているとき,球 A の半径を求めよ。 AH=12.ALL MH.MH=NH MN=CD=10. MH=NH=5 AM=AN=122+52=√169=13 1/2 (AM+M+AN)r=1/2MNAH 1/2(13+10+13)=1/2x10.12 M&HS N 3 B 交す 問題 6 △ABC C それぞれ とを証明

答えを見てもよく理解できません（ ; ; ）教えてください🙇‍♂️

●●78 例題 5 正四角錐の側面に接する半球 右の図の正四角錐 A-BCDE におい て, AB=AC=AD=AE=3√3, BC=CD=DE=EB=6であり,内部に 半球がある。 この半球の底面は正方形 BCDE 上にあり, 球面は正四角錐の4 つの側面と接している。 このとき、 半球の半径を求めよ。 い D 解答 辺 BC, DE の中点をそれぞれM, N, 球の中心を0とする。 △ABM において AM=√√(3/3)2-3°=√18=3√2 考え方) 辺BC, DE の中点と点 を通る平面で切った断食 で考える。 3√√2 r r 6 △ABCの辺BC, CA, AF このとき, DEF の重心 中線AD と線分 E 明せよ。 とする。 CE=EA 中点連結定理から AF//ED また,BF = FA. 中点連結定理か AE//FD ① ② より 対 よってEP= 同様に,中線 それぞれ Q したがって, 交点となり, すなわち, BC = 6 より BM=CM=3 作る 3点A, M, Nを通る平面で切った断面で考える。 M 3 0 MN=CD=6より MO=NO=3 △AMO において AO=√(3/2)^2=√9=3 △AMN の面積を2通りに表すと TV=29 1/2(AM+AN)=1/2MNAO 中 が成り立つ。すなわち (3√/2+3√2)=-6.3 よって r= 3√2 2 (問題 5 正四角錐 A-BCDE の高さは12, 底面の正方形の1辺の長さは10であ る。この内部にある球が正四角錐のすべての面に接しているとき,球 A の半径を求めよ。 AH=12.ALL MH.MH=NH MN=CD=10 MH=NH=5 AM=AN=123+52=5169=13 1/12 (AM+MN+AN)=1/2MN.AH 1/2(13+10+13)=1/2x10.12 rs 3 M&HS N サ B 問題6 ABCの内心をIc それぞれP,Q,R とを証明せよ。

ドイツの数学オリンピックの問題です。 問題を解いたのですが、正しい回答なのか、また、どうやって数学的に答えるのか今一わかりません。ご回答､よろしくお願いいたします。日本語に訳してます｡ 2025年のドイツ数学コンテスト第4問は、長方形の枠を使った戦略ゲームがテー... Read More

leswettbewerbs Mathematik 2025 Aufgabe 4 Für ganze Zahlen m,n ≥ 3 besteht ein mxn-Rechteckrahmen aus den 2m+2n-4 Randquadraten eines in mxn Quadrate unterteilten rechteckigen Feldes. Die Abbildung zeigt beispielhaft einen 4x7-Rechteckrahmen. Auf einem solchen mxn-Rechteckrahmen spielen Renate und Erhard nach folgenden Regeln, wobei Renate beginnt: Wer am Zug ist, färbt eine rechteckige Fläche, die aus einem einzelnen weißen Quadrat oder mehreren weißen Quadraten besteht; gibt es danach noch weiße Quadrate, so müssen diese weiterhin eine zusammenhängende Fläche bilden. Wer den letzten Zug macht, hat gewonnen. Bestimme alle Paare (m,n), für die Renate eine Gewinnstrategie hat. Anmerkungen: Zwei Quadrate, die sich nur an einer gemeinsamen Ecke berühren, sind nicht zusammenhängend. Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen. der Rückseite beachten! Nicht vergessen: Einsendeschluss 3. März 2025

解き方を詳しく教えてください( * . .)”

EXERCISES ③ 12 次の和を求めよ。 3n k=2n (3k2+5k-1)

右側の数の数列の第k項はなぜ(n+1)+(k-1)・-1となるのでしょうか？ 初項のn+1はk+1になおさないんですか？？ 教えてください( * . .)”

日本 21 第項に 数列の和を求めよ。 を含む数列の 1.(n+1), 2·n, 3.(n-1), ..., (n-1)-3, n.2 443 0000O 基本1.20 重要 32 1 章 方針は基本例題 20同様, 第項ak をんの式で表し, a を計算である。 第n項がn.2 であるからといって,第ん項を k-2としてはいけない。 各項のの左側の数, 右側の数をそれぞれ取り出した数列を考えると の左側の数の数列 1,23 , n-1, n の右側の数の数列 n+1,n, n-1,....., 3,2 第項は →初項n+1, 公差 -1の等差数列 → 第項は (n+1)+(k-1)(-1) これらを掛けたものが,与えられた数列の第k項ak [nとkの式] となる。 Cak の計算では,kに無関係なnのみの式はの前に出す。 また, k=1 この数列の第項は k{(n+1)+(k-1)・(-1)}=-k2+(n+2)k したがって 求める和をSとすると - S=_{-k2+(n+2)}=-k2+(n+2) k n k=1 k=1 k=1 == =-1/n(n+1) (2n+1)+(n+2)/1/27 (n+1) =1/12n(n+1)-(2n+1)+3(n+2)} =1/11n(n+1)(n+5) 別解求める和をSとすると S=1+(1+2)+(1+2+3)+ ...... + (1+2+…………+n) +(1+2+... n +n) -1+2+---+ k)+(+1) k=1 k=1 k(k+1)+n(n+1) = 1 1 1 1 (k² + k) + n(n+1) ++(n+1) k=1 34-7543 =1/21/12m(n+1)(2n+1)+1/21n(n+1)+n(n+1)} <n+2はんに無関係 → 定数とみてΣの前に 出す。 ◆1n(n+1)でくくり { }の中に分数が出て こないようにする。 1+1+1+······ +1+1 2+2+ ...... +2 +2 3+ ...... +3+3 3種々の数 (+) n+n はこれを縦の列 |-12-10 (n+1)((2n+1)+3+6)-1/n(n+1)(n+5) = とに加えたもの