例題9) 赤丸のところが分かりません。青線より前はそのままで、青線より後ろは10^6でまとめるのはどうしてなんですか？

重要例題 9 =項定理の利用 (1) 101100 の下位5桁を求めよ。 (2) 2945 を 900で割った余りを求めよ。 CHARTO (1),(2) ともに,まともに計算するのは大変。 次のように変形して, 二項定理を利用する。 (1) 10100=(100+1)100_(1+10°) 10 (1) 各項に含まれる 10" に着目し, 下位5桁に関係する箇所のみを考える。 (2) 30°=900 であるから 30" を作り出す。 SOLUTION (2) 2915=(30-1)5=(11+30)5 解答 (1) 10100=(100+1)100- (1+10°)10 =1+100C1·10°+100C2·10*+100C3*10°+100C410°+ … =1+100C」·10°+100C2·10*+10°(100C3+ 100C4·10°+. ここで,a=100C3+ 100 C4·10°+……+10194 とおくとaは自然数で 101100=1+10000+49500000+10°a =10001+49500000+10°a =10001+10°(495+10a) +10200 …+10'94) 10°(495+10a)の下位5桁はすべて0 である。 よって,101100の下位5桁は 10001 (2) 2915=(30-1)45=(-1+30)45円 =(-1)5+sC.(-1)4.30+asCa(-1)3.30°+««Ca(-1)2.30° +……+4sCa(-1).304+3045 第3項以降の項はすべて 30°=900 で割り切れる。 また,(-1)5=-1, (-1)4=1 であるから -1+45·1·30=1349=900·1+449 よって, 2945 を 900 で割った余りは 合第1項と第2項の和は 900 より大きい。 449 (INFORMATION 上と同じ考え方で, 複雑な計算を暗算で行うことができる。 例えば, 999は 999-=(1000-1)?=1000000-2000+1=998001, 4989×5011 は 4989× 5011=(5000-11)×(5000+11)=5000°-11°=25000000-121=D24999879 と計算 できる。

例題32）赤線の部分が分かりません。1つ上の不等式からどうやってこの式に変形したのですか？

51 基本例題 32 式の大小比較 のOOOの 0<aく6、 a+b=2 のとき、 次の4つの式の大小を比較せよ。 "+が a。 も、 ab, 2 基本 27 C HART SOLUTION 式の大小比較 数値代入などで 大小の見当 をつける 4つの式の差を作って, α-b, a-ab, ·の符号を調べればよいが, 全部 (C:=6 通り)調べるのは煩雑である。 そこで, 0<a<b, a+bー2 を満たす数 a=. b= を代入すると, ab=- 3 a+が_5 4' 2 -= となる ことから、a<ab< a'+が -く6 と見当がつく。 この予想 2 した不等式を2数ずつ差を作って大小比較する。 解答 a+b=2 から 0<aくb から b=2-a 合a+b=2 は条件式。 条件式 文字を減らす → 消去する6の条件 をaに残す。 0<a<2-a よって 0<a<1… 0 ab=a(2-a)=la'+2a α+6_α'+(2-a) また -=a"-2a+2 2 2 [1] 0から ab-a=(-α'+2a)-a=-α'+a =-a(a-1)>0 a+6° --ab=(α°-2a+2)-(-α'+2a) 全 1a<0 立U のから a-1<0 2] のから 2 =2a°-4a+2=2(α°-2a+1) =2(a-1)>0 a+6° -=(2-a) (α°-2a+2) *Dから aキ1 よって(a-1)">0 3 のから 2 =ーd+a=-a(a-1)>0 a<ab<"ナがくわ ーa<0 のから a-1<0 したがって 2 PAACTICE·· 32° e3 2つの正の数 a, bが a+b=1 を満たすとき, 次の式の大小を比較せよ。 a+b, α'+6, ab, Va+Vb

横向きですみません💦 (2)なんですけど、(2)も(1)と同じようにkが正でD<0の判別式で解いてしまいました 私には(1)(2)の違いが分かりません 教えてください！

(2) すべての実数x, kx°+(k+1)x+k$0 がよ (1) のx, x+ax+a+3>0 がように、 140 基本例題 89 不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式) 0000 定数aの値の範囲を定めよ。 p.135 基本事項 うな定数をの値の範囲を求めよ。 CHART OSOLUTION 定符号の2次式 常に ax+bx+c>0 → a>0, D<0 常に ax°+bx+c<0 → a<0, D£0 (1) xの係数は 1>0→ D<0 であるaの条件を求める。 ことに注意。kキ0 の場合, kく0 かつ DS0 であるkの条件を求める 解答 (1) x+ax+a+3=0 の判別式をDとする。 x°の係数は正であるから, 常に不等式が成り立つ条件は ←下に凸の放物線が常に x軸の上側にあるため の条件と同じ(p.135基 本事項2参照)。 0>α D=a°-4·1·(a+3)=α°-4a-12=(a+2)(a-6) ここで D<0 から, 求めるaの値の範囲は (2) kx°+(k+1)x+k<0 [1] k=0 のとき, ①は これはすべての実数xに対しては成り立たない。 [2] kキ0 のとき, 2次方程式 kx?+(k+1)x+k=0 の判別 式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成り立 つための条件は ここで -2<a<6 ① とおく。 下に凸 0ラx 0>I k<0 かつ D<0 D=(k+1)?-4·k·k=-3k°+2k+1 (2)問題文に「2次」 不等式 とは書いてないので、 k=0 の1次不等式の場 DS0 から 合も調べる。 0ミ(I-)(I+\E) 2Cf kS-. 1Sk k<0 との共通範囲をとると k< 以上から,求めるkの値の範囲は 050 ーラ

マーカー引いてるところなんですが、なぜ等号が含まれるんでしょうか？

358 ((1) 東京電機大) 基本例題15 内積と大きさ (1) lal=3, 5|=4, à-古=-1 のとき, la+b| を求めよ。 ((2) 岡山理科大) |2a-36| の値を求めよ。 p.353 基本事項4 CHARTOSOLUTION ベクトルの大きさと内積 bは万=かb として扱う (1) a+6P=(ā+あ伝+あ)としてā+万P を求める。 (2) (1) と同様に, 求めるもの|24-36|を2乗すると, a-bの値が必要になる。 そこで,まず条件は-6=1 を2乗した式からa·るの値を求める。 解答 口(1) は+6P=(ā+) (ā+) =P+2-6+万P =3°+2(-1)+4° (81( (a+b)?=α+2ab+E と同じように計算。 注意a は(a)° としな =23 るあケ ょaように! Ja+20 であるから a+=,23

(2)で、四分位偏差が大きい ではダメですか？

B選手 0, 7, 30, 21, 21, 29, 29, 44, 52, 41, 42, 34, 35, 36,1 A選手 7, 17, 13, 38, 40, 55, 42, 48, 47, 49, 44, 47, 39, 48,4 000 次のデータは,野球選手2人について15年間のホームランの本数を調べ 基本例題141 四分位範囲, 四分位偏差 ものである。(単位は本) (1) A選手, B選手のデータの四分位範囲と四分位偏差を求め。 (2) A選手、B選手のデータについて, 四分位範囲によってデーム。 p.216 りの度合いを比較せよ。 CHART 四分位数 データを大きさの順に並べ4等分 SOLUTION (1) 四分位範囲 Q3-Q Qs-Q 2 -四分位範囲 -四分位偏差、 四分位偏差 四分位範囲にはデータの大きさの約 50% が 含まれている。 Q. Q(中央値) (解答 (1) A選手,B選手のデータを大きさの順に並べると |A選手 7,13, 17, 38, 39, 40, 42, 44,47, 47, 48, 48, 49, 51, 55 B選手 0, 7, 21, 21, 22, 29, 29, 30, 34, 35, 38, 41, 42, 44, 52 (本) A選手について Q2=44, Qi=38, Q3=48 から Qs-Q=48-38=10 (本) I|=データの大きさ あるから,Q 四分位範囲は TO8 8番目,Qは Q3-Q 2-5(本) B選手について Q2=30, Q=21, Q3=41 から 0S 00 Q3-Q=41-21=20 (本) 四分位偏差は 番目,Qは前か 目。 四分位範囲は 四分位偏差は Q3-Q -=10 (本) (2) B選手の方が四分位範囲が大きいから, B選手の方がデー 10本くかす 2 タの散らばりの度合いが大きいと考えられる。 s 86 je a e 00

⭐︎を書いているところのpとCの違いがわかりません

基本例 ある部点 316 例題 5.5 じゃんけんの確率 負けた人は次の回から参加できない。 (1) 1回目で1人の勝者が決まる確率を求めよ。 (2) 2回行って,初めて1人の勝者が決まる確率を求めよ。 %,B- で大量 う事多 本. (1) 石 CHARTOSOLUTION じゃんけんの確率 勝つ人の手が決まれば, 負ける人の手が決まる CHA (2) 排反な事象に分解して求める。 解答 火 3人が1回で出す手の数は全部で (3通り 誰が勝つかが Ci 通り C,×3_1 (3 どの手で勝つかが 3通り よって (2) 次の2つの場合があり,これらは互いに排反である。 [1] 1回目で3人残ったまま, 2回目で勝者が決まる場合 1回目は、3人とも同じ手を出すか,または3人の手が異 なるときであるから, その場合の数は 午3+3P3 (通り) [1]の場合の確率は 解 選 B 3+Ps、1_1 3° ←同じ手が3通り、 異なる 手がPs通り。 3 9 [2] 1回目で2人残り, 2回目で勝者が決まる場合 1回目で2人が残るのは, 1人だけが負けるときである。 ケッまた, 2人のじゃんけんで勝負がつくのはC」×3(通り) (2]の場合の確率は× 目 *1人だけが勝っ確率と 同じであるから、その 1、2C;×3_2 3^ 3° [1], [2] から, 求める確率は 率は 2_1 9 1 9 合確率の加法定理。 PRACTICE…55 さ り人 地 3人でじゃんけんを繰り返し行う。 ただし, 負けた人は次の回から参加できない。 (1) 2回行って2回とも勝者が決まらない確率を求めよ。 (2) 2回行って, 初めて勝者が2人決まり 3回日で1Lの勝率が油まる確率と

(1)で、(x²-4)≧0と表記するのはなぜですか？何故途中で≧0が出てくるのでしょうか？

1 基本例題 86 2次不等式の解法(2)宏地不火 S 8OOOOO Sと を定めよ。(2) 4x?+4x+1ハ0 国の D (3) x-4x+820 大のー上(4) +3x°+12x→1320 なよ 次の2次不等式を解け。 (1) x-8x+16>0 3x 28 めよ。 p.134 基本事項1 CHART OSOLUTION HOITUIO ngAn TAAH 特殊な2次不等式 不等式の左辺を基本形にの場の対さ火S 不等号を等号=におき換えた2次方程式の解 が重解 x=« をもつ, または実数解をもたな い場合である。2次方程式 ax"+bx+c=0 の判別式をDとすると左辺の2次式は D=0 のときax+bx+c=a(x-α)? D<0 のとき ax+bx+c=a(x-b)°+q D=0 D<0 (D.4) a x p x (実数)?20 (a>0 なら q>0) この変形やaの正負, 頂点の位置からグラフを判断し, 不等式の解を求める。…の (解答 ロ(α+D (1) x-8x+16=(x-4)?>0 よって,不等式x-8x+16>0 の解は 4以外のすべての実数 全D=0 の場合,左辺の式 を()の形に。 ーグラフがx軸の上側に ある筋囲を答える

写真のオレンジで囲んである式の出し方が分からないです。 途中経過や公式があったら教えて欲しいです！

(2) とCで囲まれた部分の面積の最小値とそのときの m の値を求めよ。 (1) eとCが異なる2つの共有点をもつことを示し, 共有点のx座標をα, B ICEを収録し,解答スペー 327 本例題2T9 面積の最大·最小(1) のO 基本210 CHARTO 放物線と面積(x-α)(x-B)dx=-(B-a)を活用 SOLUTION 1 6 面積は(mの2次式)となるから,まず(mの2次式)の最小値を求める。 解答 (1) 直線2の方程式は x=m(x-2)+6 すなわち x-mx+2(m-3)=0 の判別式をDとすると ソ=m(x-2)+6 の *方程式0の実数解があ れば,それはlとCの 共有点のx座標となる。 D=(-m)?-4·2(m-3)=(m-4)*+8>0 よって, lとCは異なる2つの共有点をもつ。 a, B (α<B) は, 2次方程式①の解であるから m+VD_MーVD 2 8-α=- -=VD=/m°-8m+24 la, Bの値は解の公式か ら求める。また (2) とCで囲まれた部分の面積を Sとすると,右の図から D=m°-8m+24 6 CB S=(m(x-2)+6-x}dx inf. B-aの計算 解と係数の関係を用いても S CB e よい。 --ーmx+2(m-3)}dx a, Bは①の2つの解であ 0 28 x るから α+B=m, =(-)(x-8)dx a aB=2(m-3) よって (B-a)°=(α+B)°ー4aB =m°-4-2(m-3) =m°-8m+24 B-a>0 であるから B-a=\m'-8m+24 8/2 3 a) 7章 三 S=(m-8m+24) - (m-4"+8 (/m-8m+24) =ー(m-4)°+8}z (1)から 25 (m-4)?+8 は m=4 で最小値8をとるから, Sは, m=4 8/2 三 で最小値 をとる。 6 3 ミニーーーーー-ーー

例題48)赤線の所が分かりません。式の形的に反復試行の確率を使っているのかなと思うのですが、 　　　　なぜこのような式になるのかが分かりません、、。教えてください🙇‍♀️

305 重要例題 48 平面上の点の移動と反復試行 右の図のように,東西に4本, 南北に4本の道路が て地点Bへ向かう。 このとき, 途中で地点Pを通る 確率を求めよ。ただし, 各交差点で, 東に行くか, B 北 4 P 北に行くかは等確率とし, 一方しか行けないときは 確率1でその方向に行くものとする。 A 基本 27,46 2章 CHARTOSOLUTION 5 最短経路 道順によって確率が異なる A→P→Bの経路の総数 A→Bの経路の総数 これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は 道順によって確率が異なる。 例えば, 求める確率を AC。×1 から, 6C。 とするのは 誤り! B 後 目に A1→→→P1↑Bの確率は でい1= 1.111 ·1· 2 2 2 2 16 A→→→1P1↑Bの確率は 1.11 2 2 2 1 ·1·1·1 A よって, Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。 一。 解答 右の図のように,地点 C, C', P'をと る。Pを通る道順には次の2つの場合 があり,これらは互いに排反である。 道順A→C→C→P→Bの場合 この確率は B 合C→Pは1通りの道順 であることに注意。 [1] →→→↑↑↑と進む。 [2] ○○○→1↑と進む。 ○には→2個と↑ 1個 が入る。 P' P C 11x1-。 A C xly1 22 12/道順A→P-→P→Bの場合 -x1×1× この確率は 3 -×1×1= 16 よって,求める確率は 1 3 8 5 *確率の加法定理。 16 16 独立な試行·反復試行の確率 JP

カッコ2番の星を書いているところはなぜ分母に6条と分子に三乗をするのですか？

は7ゲーム目までにAが4勝する確率であり, 例えば, Aが4連勝した。 7ゲーム目で優勝が決まるから, 6ゲーム目までにAが3勝し、7ゲーム目に 勝つ確率はであるとする。 A, Bがゲームをし, 先に4ゲームを働った。 で3連敗する場合も含まれている(この場合は4ゲーム目で優勝が決まる)。 PRACTICE …47® A, Bの2人があるゲームを繰り返し行う。1回のゲームでAが (2) 一方の勝った回数が他方の勝った回数より2回多くなった時点で勝った回数の 304 基本 例題 47 対戦ゲームの優勝確率 BチームがAチーム 48 平 2 重要例題 右の図のように, 東日 ある。地点Aから出 て地点Bへ向かう。 確率を求めよ。たた 北に行くかは等確速 確率1でその方向! 3' あるゲームでAチームがBチームに勝つ確率は 3 (1) 4ゲーム目で優勝チームが決まる確率を求めよ。 (2) 7ゲーム目で優勝チームが決まる確率を求めよ。 ームを優勝とする。 b.298 基本事項3。 CHARTOSOLUTION n回目で決着一 (n-1)回目までに着目 ....。 (2) Aが4勝3敗で優勝する確率を ,C (1-)としては ie.. CHARTOSOL 最短経路 道 求める確率を これは, どの 本間は 道順に Aが勝つ確率を求めなければならない。Bが優勝する場合も同様 Af→→→ F A→→→1E 解答 よって, P (1) 4ゲーム目で優勝チームが決まるのは, AチームまたはB 水チームが4連勝する場合であり, これらは互いに排反である。 A, Bのどちらが残。 てもよい。 1 17 解答 よって, 求める確率は () +()- 合確率の加法定理。 右の図のように、 る。Pを通る道順 3 81 (2) [1] 7ゲーム目でAチームが優勝する場合 6ゲーム目までにAチームが3勝し,7ゲーム目にAチー ムが勝つときであるから, その確率は があり,これらに [1] 道順A-→ この確率は 40 36 [2] 7ゲーム目でBチームが優勝する場合 合.Cが(1-) ケち 3 3 [2] 道順A [1]と同様にして 6Cg 20、2° 全6ゲーム目までにBが 勝し、7ゲーム目にB 3 36 この確率は [1], [2] は互いに排反であるから,求める確率は 勝つ場合。 40、2°」20、2° -X 2° -=20×36 よって,求め 160 3 36 + 3° *確率の加法定理。 3 729 したがって PRACTICE … 右の図の。 2 BがAに勝つ確率 3 ん 争は3であるとする。 に勝つ確率は一 点Aから このとき 差点で、 けないと