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基本例 126 2次方程式の解と数の大小 (②2) 2011/1
2次方程式 ax²-(a+1)x-a-3=0が-1<x<0, 1<x<2の範/1392230
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つの実数解をもつように、 定数aの値の範囲を定めよ。
p.191 基本事項 ①
重要 1274128
[a>0]
[a<0]
y=f(x)
指針f(x)=ax²-(a+1)x-a-3 (α≠0) としてグラ
フをイメージすると、 問題の条件を満たすには
y=f(x)のグラフが右の図のようになればよい。
すなわち
(①)が異符号
)
LA DAG
V P
0
2x
y=f(x)
0
かつf(f(2)が異符号
[(1) (2) <0]
を解く。
である。 αの連立不等式
CHART 解の存在範囲 f(b) f(g) <0ならαの間に解 (交点) あり
解答
f(x)=ax²-(a+1)x-a-3 とする。 ただし、a≠0
2次方程式であるから
(x2の係数) ≠0 に注意。
題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-1<x<0,
1<x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
すなわち f(-1)(0)0 かつ (1)f(2)<0
ここで
f(-1)=a•(-1)²-(a+1)•(-1)-a-3=a-2,
f(0)=-a-3,
注意 指針のグラフからわか
るように, a>0 (グラフが下
に凸), α<0 (グラフが上に
f(1)=a・12-(a+1)・1-a-3=-α-4,
凸) いずれの場合も
f(2)=α・22-(a+1)・2-a-3=α-5
f(-1)(0)<0 かつ
f(-1)f(0) <0から
ƒ(1)ƒ(2) <0
(a-2)(-a-3)<0
(a+3)(a-2)>0
ゆえに
よって
が,題意を満たす条件である。
よって, a>0 のとき, a<0
のときなどと場合分けをし
て進める必要はない。
a<-3, 2<a ......
また, f(1)f(2) < 0 から
(-a-4) (a-5) <0
ゆえに
(a+4)(a-5)>0
よって
a<-4,5<a
① ② の共通範囲を求めて
a<-4, 5<a
これはα≠0 を満たす。
of
-4-3
2次方程式 ax^²-2(a-5)x+3a-15=0が, -5<x<0, 1<x<2の範囲でそれ
126 ぞれ1つの実数解をもつように,定数aの値の範囲と
196
OF
方
指
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